Литература / Закатов П.С. - Курс высшей геодезии (1976)

11,

,1

Из рис. 12:следует, что угол между плоскостями параллели и первого

яертикала измеряется углом СМп = В. Поэтому радиус r параллели опреде­

лится через радиус кривизны первого вертикала N по формуле

r=NcosB=MC.

Учитывая выражение для радиуса параллели из (4.9), получаем
	acosB				N	cos	В	'
	-::г===== =
	-V1 - е2	sin2		В
откуда
	N=		-V	а			'			(5.10)
				1-е2 sin2 В
или
или, принимая во внимание обозначение (4.36), получим
	N= а2.									(5.10')
			р
Из рис. 12 следует,	что
				мс						(5.11)
	Mn=--=N
				cosB		'
·т. е. длина отрезка нормали Мп равна радиусу							:нривиэвы nepEoro Еертию1ла
Из (5.3) и (5.10) имеем								1 + е2 cos2 В
N	1-е2 sin2 В _	1-е2+е2 cos2 В					_			(5.12)
м= 1-et				1-е2			-	1-е2	•

Отсюда видно, что

N~M.

Для вычислений используются в соответствующих случаях величины '

р"

и N, обозначаемые символами (1) и (2), т. е.

~ =(1) и	р"	(5.13)
	N=(2).

Значения этих величин выбирают из специальных геодезических таблиц

по аргументу широты.

Радиус кривизны меридиана М, как увидим далее, служит для вычисления

длин дуг :меридианов и разностей широт; радиус кривизны первого вертикала

N - для вычисления длин дуг параллелей и разностей долгот и азимутов.

Для вычислений на счетных машинах полученные выражения (5.3) и (5.10} для М и N неудобны в связи с необходимостью вычислять дробные степени W и V; в этом случае целесообразно представить Ми N в виде сходящихся рядов.

Разложив в выражениях (5.3) и (5.10) знаменатели (1 - е2 sin2 В( 1 !2 и (1 - e2 sin2 В)-¼ в биноминальнµй ряд, после несложных преобразований

30

и подстановки числовых значений элементов референц-эллипсоида Красовского,

вметрах, получим:

1v1=6367 558,4969- з2:012,9605 cos 2в+ 67,3123 cos 4В­

-0,1319 cos 6В+ 0,0002 cos8B- ... = 6 335 552,7170+

+63 609, 7883 sin2 В+ 532,2089 sin4 В+ 4, 1558 sin6 В+

+ ,031 7 sin8 В	}.	(5.14),
N = 6 3Р8 958,4431-10 726,9320cos 2В+ 13,5077 cos 4В­
- 0,0189 cos 6В + ... = 6 378 245,0000 +	21 346, 1416 sin2 В+
+ 107, 1580 siн4 В+ 0,5982 sin6 В+ 0,0033 si118 В

Выше были получены формулы для главных радиусов кривизны, вывод которых основывался на классическом подходе к решению задач сфероидиче­ ской геодезии. Учитывая важность полученных формул, а также методические·

соображения, дадим вывод формул для М и N в другой форме, пользуясь иным

приемом их получения.

Воспользуемся известным разложением Эйлера степенной функции в цеп­ ную дробь

(1 +У)"= 1 + ~у+ (1-/)у + (1-i;v)y + (2~v)y + ... +
+	(n-v) у+ (n+v) у+			(5.15)
	2	2п+1	· · · ·
Раз.пожение (5.15) сходится, как известно, на всей комплексной плоскости
переменного у, разрезанной	по	вещественной	оси от у = -1 до	у = -оо.

В случае у вещественного положительного разложение (5.15) применимо длн любого значения аргумента у. Для этого достаточно взять нужное количество

звеньев цепной дроби (5.15). Ограничиваясь двумя из них, запишем:

(5.16)

Далее, пользуясь известным методом подсчета подходящих дробей, опу­ ская подробности дальнейших математических выкладок, для выражения (5.16)

можно записать, что

(1 1	)" ,___, 2 +(1 +V) у		(5.17)
'У	~ 2+(1-v) у·
Применим формулу (5.17) для вычисления величин М, N, записав их в виде:
			(5 .18)
	а	с
N =w=v·			(5.19)
где по-прежнему:
W = V1-e2 sin2 В= (1-е2 sin2 В)112 ,			(5.20}
V = V1 +e'2 cos2 В= (1 + е~2 cos2 В)112 •			(5.21}
			Зt

В формулах (5.20) и (5.21) значения переменного у, входящего в (5.17),

соответственно равны

у= -		е2 sin2 В	и у= е'2 cos2 В,
а величина v = 1 / 2 •
Следовательно,		tV = 1-О,75е2 sin2 В
						(5.22)
		1-О,25е2 sin:.1 jj			'
		V = 1 +о,75е'2 cos2 в				(5.23)
		1 +О,25е'2 cos2 В			·
		wз = 1-1,25е2 sin2 В				(5.24)
		1 +U,25e2 sin2 В '
		vз = 1 +	1,25е'2 cos2 В •			(5.25)
		1-О,25е'2 cos2 В
Тогда формулы (5.18)	и	(5.19) примут		вид
Лf=a(i-e2) 1+0,25e2s~n2B =C-1-0.25e' 2 cos2B,						( 5.26)
		1-1,25е2 sш2 В		1 +	1,25е'2 cos2 В
7\Т	1-О,25е2 sin2 В			1 +О,25е'2 cos2 В		(;).27)
н =а------=с				1 +О,75е'2 cos2 В •
	1-О,75е2 sin		2 В

Можно доказать, что абсолютная погрешность приближения (5.16) равна модулю разности между соседними подходящими дробями того же типа и :может быть вычислена по формуле

1 1	уз	1	'	(5.28)
Л2(У)<7;	(2+у)(4+у)

где символ Л 2 указывает, что погрешность соответствует двум звеньям цепной

дроби, т. е. формуле (5.16).

Приняв в выражениях (5.20) и (5.21) величину квадрата эксцентриситета

е2 (или е'2) равной 0,0067, для любого значения широты В получим:

1	0,0073	О	o-s
Л2 (у)<4.	2,007 · 4,007 <	' 9	• 1	·
Таким образом, формулы (5.22)-(5.27) обеспечивают вычисление величин
W, V, М и N с достаточной точностью, т. е.		до 1 .10- 8 •

Заметим, что полученные формулы (5.26) и (5.27) для М и N более удобны и просты для вычислений на счетных машинах, нежели формулы (5.14).

§ 6. Средний радиус кривизны

Средним радиусом кривизны в данной точке поверхности называется пре­ дел, к которому стремится среднее арифметическое из радиусов кривизны нормальных сечений, когда число их стремится к бесконечности.

Пусть на рис. 13 :меридиональное сечение в данной точке М изображено

линией РМР 1, а сечение первого вертикала - WMO. Эти два сечения являются

главными нормальными сечениями, имеющими соответственно максимальную

имтпппшльную Rривизну.

З2

1 1

Пусть кривая МА изображает произвольное нормальное сечение в точке М поверхности эллипсоида, заданное азимутом А, т. е. сечение расположено под углом А к меридиональному сечению.

На основании формулы Эйлера, устанавливающей зависимость между

радиусом кривизны рА произвольного нормального сечения и радиусами кри­

визны главных нормальных сечений, имеем

р

		1	=	cos2 А + sin 2 А
		~		--А! - N -- '
	откуда
				(0.1)
	Вообразим, что			А принимает последовательно	Р,
	значения: О,	ЛА,	2 ЛА, 3 ЛА · · ,2n-2 ЛА, 2n-ЛА,		Рис. 13
	причем ЛА -	малая		величина·. Число таких зна-

чений А будет равно~:. Вычислим среднее арифметическое из радиусов (кри­

визны всех этих нормальных сечений, проведенных из точки М через интервалы

величиной	ЛА, и обозначим его		через R 1 •
Будем иметь
	A•2:rt-ЛA			A=2:rt-ЛA
	~	MN		]	МNЛА
		N cos2 А +М sin2 А			N cos2 А +м sin2 А
	R1=--A_=_o__~ ------			А=О
		2n			2л
		ЛА
Таким	образом,	согласно определению среднего радиуса кривизны R,
~олучи:м
		R = lim R 1 при		ЛА -+ О.
Очевидно, в этом случае знак ~ в выражении для R 1 должен быть заменен
знаком интеграла, а		ЛА - через	dA.
Будем	иметь
		Л/2
		R =_2iл_ s	MN		А dA.
			N cos2 А +м sin2

о

Разделим в подынтегральной функции числитель и знаменатель на N cos 2 А,

тогда

Вынесем за знак интеграла VмN

Jn/2 1/М dA

R=; VмN 1 +(1i~2 ,

3 п. С, Заиатов

Обозначив1Jf:tg А через t, получим
	R = п2 vМ-Nst\)	1dt+tz ·
	о
Интегрируя, получаем
	N
	R= ~ VмN\ arctgt.
	о
Подставляя пределы,	получаем
11'	2 ,, - п
	R=-vMN-
	n	2

и окончательно

(6.2)

или

	R- aVI="e2	(6.3)
	- 1-e2sin2в•

Таким образом, из (6.2) следует, что средний радиус кривизны для точек

эллипсоида вращения равен среднему геометрическому из радиусов кривизны

главных нормальных сечений - меридиана и первого вертикала, проведенных из той же точки.

Выражение для R может быть написано в функции величин W и V так:

R _ а -Vr=ё"2 _ _ь_ _ _с_			(6.4)
	- wz -	wz - vz
и
R 2	с2	№	(6.5)
	=MN= - = -
	V4	vz •

Средний радиус кривизны применяется при изображении частей поверх­

ности эллипсоида на шаре, при вычислении сферических избытков треуголь­

ников и в других случаях.

В таблицах, составленных ЦНИИГАиК и Центральной вычислительной частью для эллипсоида Красовского, даются через интервалы по широте в 1' логарифмы величины (1), (2), R, а также значение функции V.

Для вычисления радиуса кривизны нормального сечения, имеющего азимут А, можно воспользоваться, конечно, формулой (6.1). Для практических вычи­ слений, путем несложных преобразований, ее удобнее представить в другом

виде, т. е.

РА	N	(6.6)
	= 1 +112 cosz А'

где 11 = e'cos В.

Для менее точных вычислений, с ошибкой на члены е', формула (6.1) может

быть преобразована

е2	в cos 2А).	(6.7)
РА == R ( 1-т cos2

Формула (6. 7) используется, например, при вычислении поправки за при­

ведение измеренной длины базиса к поверхности референц-эллипсоида.

34

	§ 7. Вычисление длины дуги	меридиана
Пусть точка А (рис. 14) на меридианном эллипсе имеет широту В. Возьмем
на бесконечно малом расстоянии ds от точки А		точку А 1 , имеющую широту
В+ dB; таким образом, разность широт то-
чек А и А	1 , соответствующая дуге меридиана	Р
ds будет	dB. Рассматривая элементарную

дугу ds как дугу окружности с радиусом М,

получаем

ds=MdB,

или

ds=	а (1-е2) •			dB= а (1-е2) dB.
(1-е2 sin2 В) I•							w:з
Длина	дуги меридиана между точками,
имеющими	широты В		1	и В	2 , получится
В2	а (1-е2)		dB-			(1		2)	В2
S -		а					-е		dB
				-а					-- .
-s (1-е2 sin2 В) lz									5W 3
В1									В1
									(7.d)

Р,

Рис. 14

Таким образом, вычисление длины дуги меридиана сводится к нахождению

эллиптического интеграла вида			5dB
dB		=
5(1-е2 sin2	В)1/2		W3 , .

который, как известно, в элементарных функциях не берется. Для вычисления

указанного интеграла разложим подынтегральную функцию ; в ряд по би­

3

ному Ньютона. Имеем

- 1- = (1-е2

sin2 В)-1/2 = 1 +~е2

sin2 В+~ е4 sin4 В+

JV3

·

2

8

3bl

6 • .. в+ 315

8 .

8 в+ 693

10 . . 10 в+

•••

(7.2)

+16 е

sш

128 е

sш

256 е

sш

Для простоты дальнейших выкладок ограничимся членами с е4• Четные

степени синусов,

входящих в разложение функции w1з в

ряд,

заменим коси-

нусами кратных

дуг

согласно

равенствам:

.

2в

1

1

2В

'

sш

=т-тсоs

sin4 В= ~ -

; cos 2В+ ~ cos 4В.

Теперь формула

(7 .2) примет вид

; 3 = 1 + ~ е2 (; -

~ соs.2в) + ~ е4 (

~ -

~ cos 2в+ ~ cos 4В)+ ... ,

w1з = 1 +-;rз е2 -z;eз 2 cos 2В+6445 е4 -ме15 4 cos 2В+ме15 4 cos 4В+•..

3*	35

или

wз + (1 + : е2 + :1 е4 + ...) - (: е2 + ~~ е4 + ...) cos 2В+

+ (~: е4+ .. ·)cos 4В....		(7.3)
Обозначая:
		(7.4)
получаем
w1з =A-Bcos2B+ Ccos4B- ...		(7 .5)
Подставляя найденное значение	;з в (7 .1), получаем
В2
s= а(1-е2)S (A-Bcos 2В+ Сcos 4В- ...) dB.		(7.6)
в.
Интегрируя почленно, находим
s = а(1- е2) ~А (В2-В1)· - ~ (sin 2В2	-sin 2В1)+ {- (sin 4В2-sin 4В1)- •• ·}.
		(7.7)

Полученная формула является общей для дуги меридиана. Рассмотрим

основные преобразования формулы (7. 7) в зависимости от цели ее применения.

1. При вычислении геодезических таблиц, например для вычисления

таблиц координат Гаусса - Крюгера, возникает необходимость вычислять

длины дуг меридианов от экватора до точек дуги, расположенных через опре­

деленные интервалы широты. В этом случае начальная широта В 1 = О. Пере­

менной величиной при вычислении будет широта В 2 = В, поэтому формула

(7. 7) может быть оставлена без перегруппировки членов. Таким образом,

получим

в_	(	В"	-	В .		С .		)	(7.8)
s0 -	а (1- е2) lА	7		2	sш 2В +	4	sш 4В-	... J"

Особенность этого случая в том, что широта В может изменяться от О до 90°; длина дуги при этом может быть значительной, и вычисления следует вести,

как правило, с большим числом членов.

После подстановки числовых значений элементов эллипсоида R расовского

выражение (7 .8) напишется
Sf = 6 367 558,4969В- 16 036,4803 sin 2В + 16,8281 sin 4В-
- 0,0220 sin 6В+ ....	(7 .8')

2. При обработке градусных измерений с целью вывода размеров земного

эллипсоида формула (7. 7) становится неудобной. В этом случае широты концов

~6

измеренных меридианных дуг, участвующих в обработке градусных измерений,

могут считаться постоянными; в отличие от предыдущего случая размеры эл­

липсоида (или поправки к некоторым приближенным: их значениям) подлежат определению. Поэтому нужно расположить члены ряда, выражающего дугу

меридиана, так, чтобы около определяемых величин а, е2, е4 и т. д. сгруппиро­

вать постоянные члены.

Преобразуем формулу (7.7), учитывая изложенные соображения и заменяя

разности синусов через произведения синусов и косинусов соответствующих

углов.

Для уменьшения алгебраических преобразований ограничимся только чле­

нами с е2 •

Из (7. 7) и (7 .4) будем иметь с оговоренной точностью

s=a(1-e2) {(1+ ~ е2) (В2

-В1)-: e2 sin(B2-B1)cos(B2+B1)}.

Примем

.

(В

В)

(В

В)

(В2-В1)з

sш

2 -

1 =

2 -

1 -

6

и введем среднюю широту Вт по формуле

В2+В1 - В

2

--

т·

Получим

s=a(1-e2 ){(1+ ~е2) (В2-В1)-: е2 [(В2-В1)- (Bг/i)3 Jcos2Bm}

и

(7.9)

(7 .10)

Пренебрегая членом порядка е2 (В

2 -

В

1 ), получаем с принятой точностью

s =

а(В"'-В1){

1 -

(1 + 3

2В)

е

2}

.

(7.11)

р"

4

4 cos

т

3. Для вычислений в триангуляции, когда стороны незначительны и редко

превосходят 40-50 км, дадим более простую и удобную формулу. Для этого обозначим

вт,_- В1 +В2	И Мт=	,	а (1-е2)	з; ·
2		(1-е2 sin2 Вт)		2
Введем вспомогательную величину
S1 = Мт (В2-В1)" = а (1- е2)			(В2-В1)"	wз '
р"			р"

т

которая, очевидно, представляет собой длину дуги окружности с радиусом,

равным радиусу кривизны меридиана в точке со средней широтой. На основа­ нии (7.5) напишем

s1 =a(1-e2) (В2 --;,,В)"1 (A-Bcos2Bm+Ccos4Bm).

37

1'

1:1

Подставим значения коэффициентов А, В, С

s1 s=a(1-e 2 )

(В2 --;/1)"

{( 1+ ~ е2+ :: е4)-

- (1е2 + ~~

е4) cos 2Вт+ ~: е4 cos 4Вт}•

(7.12)

Сравнивая (7.12) с (7.10), получаем

s = s1 +

а (1-е2)

В

8

е2 cos

2. т (В2 -

В1)3 •

Полагая в поправочном члене последней формулы а (1 -

е2) = Мт,

т. е.

пренебрегая членами

порядка

3

е4 (В 2

-

В 1) 2

s,

получаем

"

16

+ Мт

-М

(В2-В1)11

2

COS 2

В

(В2-В1)"3

S -

т

р,,

- 8-

е

т

~·З

•

Окончательная формула для вычислений в триангуляции имеет вид

s = Мт

(В2-В" 1)11

[ 1 +~

е

2 (В2-В1)"2 cos ZBт] •

(7 .13)

р

8

р"2

Формула (7 .13) пригодна для расстояний порядка 400 км (при s = 400 км

допущенная выше погрешность порядка

3

е4 (В

2

-

В

1

) 2

s даст ошибку в

:ша-

16

чении s, равную приблизительно

1 мм).

При s ~ 45 км значение поправочного члена будет меньше 1 мм, поэтому поправочный член в (7.13) можно отброс:rть и вычисления вести по формуле

-М	т	(В2-В1)''		_	(В2-В1)"	(7.14)
S -			р"	-	(1)т	•
Следовательно, при длине дуги,			меньшей 45 км, можно рассматривать ее

как сферическую с центральным углом, равным разности широт конечных точек,

иописанную радиусом меридионального сечения, соответствующим средней

широте дуги.

Коэффициенты А, В, С, введенные ранее при выводе формул для дуги ме- ридиана, для эллипсоида Красовского имеют следующие значения:

А= 1,005 051 7739,

В= 0,005 062 37764,

С= 0,000 010 62451,

D = 0,000 ООО 02081.

В табл. 2 приведены для справок длины дуг меридиана на эллипсоиде Кра­

совского для некоторых широт с точностью до 0,1 м.

После элементарных преобразований формула (7.13) приводится к лога­ рифмическому виду. Удержанное число членов обеспечивает вычисление дуг

до 400 км длиной
lg s = lg	(в2 - в)"1	+ k (В	2	-	В	)"2 cos 2В	т,	(7.15)
	(1) т				1

38

где

			Таблица 2
	Длина дуги меридиана в м
во		1 в одну минуту	\ в одну сенунду
	в один градус
о	110 576,3	1842.9	30,7
30	110 854,4	1847,6	30,8
60	111 414,1	1856,9	30,9
90	111 695,8	1861,6	31,0

На основании формулы (7 .14) можно решить обратную задачу: определить разность широт конечных точек дуги по длине дуги и средней широте ее

(7.16)

Практически нередко приходится решать следующую задачу.

Даны широта первой точки В1, расстояние по дуге меридиана до второй точки s; требуется определить широту второй точки В2• Имеем

В2 = В1+ (В2- В1).

Для определения (В2 - В 1) воспользуемся формулой(7.16); однако сразу

по этой формуле искомая разность (В2 - В1 ) не может быть вычислена, так как

неизвестна средняя широта Вт, по которой должен быть рассчитан радиус Мт

или взята из таблиц величина (1)т. Рассмотрим решение задачи с применением метода последовательных приближений.

В первом приближении вычисляют (В2 - В1 ), используя для определения

(1) широту первой точки, получают приближенное значение (В2 - В1), т. е.

(В2-В1)1 = s (1)1 ;

далее

(В2)1 =В1+ (В2-В1)1-

С этим значением широты второй точки вычисляют приближенно среднюю

широту (Вт)1	= Bi + (В2)1	; используя найденную	приближенную среднюю
	2
широту (Вт)1 ,	находят разность широт (В2 - В1 ) 2		и среднюю широту (Вт) 2

во втором приближении. Аналогично производят вычисления в третьем при­

ближении, четвертом и т. д. до тех пор, пока два смежных приближения не да­

дут одинаковые результаты в пределах заданной точности, которые и будут

окончательными.

Выше было дано общепринятое решение по выводу формулы длины дуги

меридиана, основанное на разложении подынтегральной функции (7.1) в ряд

по биному Ньютона и последующем почленном интегрировании.

Дадим несколько иное и также, конечно, приближенное решение исходного

интеграла

В1
S= sMdB.	(7 .17)
Н1

39