Z

Z

Q1

Q1

r

Q2

r

r1

Q2

r2

γ1

r2

r

1

α1

l

X

O

j

X

O

i

β1

У

У

Рис. 2.8. Векторный способ

Рис. 2.9. Направляющие косинусы

определения S между двумя

точками

системы пространственных координат

Откуда находим:

cosα1 =

(

i

)=

X1

r1

;

r1

X12

+У12 + Z12

cosβ1 = (

j)=

r1

У1

;

(2.25)

X12

+У12 + Z12

r1

cosγ1 =

(

l

)=

Z1

r1

.

r1

X12

+У12 + Z12

=

(рис. 2.9) выражения (2.25) примут вид

Для вектора

r

Q1Q2

cosα =

X 2 − X1

;

(X 2 − X1 )2 + (У2 −У1 )2 + (Z2 − Z1 )2

cos β =

У2 −У1

;

(2.26)

(X 2 − X1 )2 + (У2 −У1 )2 + (Z2 − Z1 )2

cosγ =

Z2 − Z1

.

(X 2 − X1 )2 + (У2 −У1 )2 + (Z2 − Z1 )2

2.2.4.Преобразования пространственных прямоугольных систем координат

При преобразовании пространственных прямоугольных координат, будем руководствоваться теми же теоретическими положениями, что и при преобразовании плоских прямоугольных координат, рассмотренных подробно в

разделе 2.2.2. То есть в начале рассмотрим преобразование координат, вызванное только изменением начала двух систем при параллельном переносе их осей. Затем осуществим преобразование, вызванное изменением направлений осей при неизменном (совмещенном) положении начала СК. И третий случай – общий, когда одновременно изменяются и начала СК, и направления осей координат двух систем.

Параллельный перенос осей координат

Пусть Х, У, Z – координаты произвольной точки Q относительно декартовой прямоугольной системы координат ОХУZ, а X , У, Z – координаты

той же точки Q относительно другой СК, оси которой направлены так же, как и оси первой системы, и начало которой имеет относительно системы ОХУZ

координаты X0, У0, Z0.

Если единицы масштаба по осям этих систем совпадают, то координаты X , У, Z вектора K связаны с координатами Х, У, Z вектора К следующим образом

K = K − K0

или

(2.27)

K = K + K0 ,

где

X

X

Х

0

;

;

K0

(2.27а)

K =

У

K =

У

= У0

.

Z0

Z

Z

Поворот осей

Z

Если

две

различные

системы

пространственных

прямоугольных

Z

координат

ОХУZ

и О

X

У

Z

имеют

Q

общее (совмещенное)

начало,

то

направления

осей

координат

второй

системы

относительно

осей

О X УZ

r

системы ОХУZ может быть выражено с

l

l

помощью

направляющих

косинусов

(рассмотренных

в

предыдущем

параграфе)

единичных

(базовых)

X

i

j

У

векторов осей координат i,

j, l

системы

О

ОХУZ

относительно

единичных

j

i

векторов i, j, l системы

О X УZ

(рис.

У

Х

2.10).

Орт i системы ОХУZ имеет

Рис. 2.10. Разворот осей

направляющие

косинусы

с

осями

пространственной системы	системы О X УZ
координат

cos i,

i

; cos

i,

j

; cos i,

l

;

–

орт j

cos

j,

i

; cos

j,

j

; cos

j,

l

;

а орт l

–

cos l,

i

; cos

l,

j

; cos l,

l

.

И тогда, согласно (2.11) и (2.17),

= PK ;

K

K = PT

,

K

(2.28)

где Р матрица преобразований имеет вид

cos i,i

cos j,i

cos l,i

cos l, j

(2.29)

Р = cos i, j

cos j, j

.

cos i,l

cos j,l

cos l,l

Общий случай преобразований получим, объединяя первый со вторым,

= P(K − K0 ) ;

K

(2.30)

K =

PT K + K0 .

Если же при переходе от одной системы к другой масштабы по осям были различны, то, как и на плоскости, это учитывается очень легко, путем умножения (2.30) на масштаб

K = P(K − K0 )(1 + m) ;

					(2.31)
	K = PT K (1 −			m) + K0 ,

где m – изменение масштаба.

Перемножая матрицы в (2.31), получаем окончательные формулы

= cos i,i

(X

- X

) + cos j,i

(У -У

) + cos l,i

(Z - Z

) × (1 +

m);

X

0

0

0

= cos i,

(X

- X

) + cos j,

(У -У

) + cos l,

(Z - Z

) × (1 +

m);

У

j

0

j

0

j

0

= cos i,

(X

- X

) + cos

j,

(У -У

) + cos l,

(Z - Z

) ×(1 +

m)

Z

l

0

l

0

l

0

(2.32)

или

X = cos i,i

×

- cos i,

×

- cos i,

×

×(1 -

m) + X0 ;

X

j

У

l

Z

У = cos

×

- cos j,

×

- cos

×

× (1 -

m) + У0;

j,i

X

j

У

j,l

Z

Z = cos l,

×

- cos l,

×

- cos l,

×

×(1 -

m) + Z0.

i

X

j

У

l

Z

Преобразование координат – это не только переход от одного вида СК к другому, что при многообразии СК в геодезии и астрономии имеет огромное значение, но это также возможность изменения (упрощения) в нужном

направлении алгоритмов решения многих задач путем использования метода и формул преобразования координат. Так как уравнения (2.20), (2.32)

преобразования координат могут быть истолкованы еще и как соотношения, определяющие новую точку Q с координатами x , у относительно той же самой

системы координат Оху для плоскости или с координатами X , У , Z относительно системы ОХУZ в пространстве потому, что преобразование, в

котором точка Q соответствует точке Q с плоскими координатами х, у или

пространственными координатами Х, У, Z, состоит в последовательном выполнении параллельного переноса и поворота пространства или на плоскости. Типичным примером такого рода задач являются преобразования линейных отображений и приведения квадратичной формы общего вида к каноническому виду.

2.2.5. Преобразования линейных отображений

Пусть в некоторой двумерной системе координат Ох1х2 задано линейное отображение

			= а	х + а
x		1			12	х	2
			11	1					(2.33)
x2
			= а21 х1 + а22 х2