или матричной форме:

Х = АХ,

x

a

a

x

где

X =

1

11

12

=

1

.

(2.34)

; A =

; X

x2

a21

a22

x2

Выражение (2.33) следует понимать в том смысле, что координатам х1, х2

соответствует

некоторая точка

М(х1,

х2)

СК

Ох1х2,

а

координатам

,

–

х1

х2

другая точка N( х1, х2 ) той же СК.

Преобразуем линейное отображение (2.34) путем перехода к новой СК

Оу1у2 . При этом будем полагать, что начала новой и старой СК совпадают.

Тогда на основании (2.17) имеем

X = P−1У,

= P−1

.

(2.35)

а

X

У

Подставив (2.35) в выражение (2.34) и умножив полученное выражение

слева на матрицу Р, получим:

PP−1

= PAP−1У

У

или

=

×У ,

У

А

(2.36)

а

а

где

А

=

РАР−1 =

11

12

.

а21

а22

Перемножив матрицы в (2.36), будем иметь:

у

1

=

а

11

у

+

а

12

у

2

1

(2.37)

.

у

2

=

а

21

у

+

а

22

у

2

1

2.2.6. Приведение квадратичной формы общего вида к каноническому

Пусть дана квадратичная форма в виде однородного многочлена второй степени

F (x

x

2

) = a

x2

+ 2a

x x

2

+ a

22

x2 .

(2.38)

1,

11

1

12

1

2

Требуется привести (2.38) к каноническому виду с использованием

перехода к новой СК О

Х1

Х2

F (x1, x2 ) = F (

1 ,

2 ) = λ1

12 + λ2

22 .

(2.39)

х

x

x

x

Представим (2.38) в матричной форме. Для этого (2.38) запишем (полагая

a12 =a21) в виде

F (x1, x2 ) = (a11 x1 + a12 x2 )x1 + (a21 x1 + a22 x2 )x2 .

(2.40)

Введем матрицу квадратичной формы

а11

a12

(2.41)

A =

.

a22

a21

Тогда выражение (2.40) в матричном виде запишется как

F (х

x ) = X Т

AX ,

(2.42)

1,

2

где X, XТ матрицы, соответственно:

	х1					= (х		x		) .
X =					; X T
	x						1,		2
			2
Действительно,
F (х		x		) = X Т		AX							=					(х			x		)	а11		a12			х1		=
	1,		2																	1,		2		a	21	a	22		x
																													2
(а x	+a x a x +a x )									x1				=
11 1	21 2				12 1		22 2			x
										2
= (a x + a x						2	)x + (a				21	x + a			22	x	2	)x	2	= X T				AX .
	11		1		12		1						1

Введем новую СК O x1 x2 , центр которой совпадает с центром СК Oх1x2. . При этом

	х1 = α 11					1	+ α 12			2 ;
				x				x			(2.43)
	x 2 = α 21 x 1 + α 22 x 2 .
	Или, как выше установлено, в матричном виде
	X = Р		.				(2.44)
		X

Чтобы привести (2.38) к каноническому виду (2.39), выполним преобразование координат (2.43), (2.44). Дальнейшие преобразования координат выполним в матричном виде.

Нетрудно убедиться в справедливости

	X T		=			T × Р−1 .														(2.45)
				X
Действительно,
		T			−1								α	α	21																) = (x x		)= X	T
			× Р				= (x			x							= (α x			+ α x			α		x		+ α		x
	X								1		2	)	11	α								2		21		1		22		2		2
													α		22		11 1			12											1
													12

так как x1 = α11 x1 + α12 x2 . x2 = α21 x1 + α22 x2

Выразим координаты х1 , x2 в (2.42) через новые координаты x1 , x2 . Для

этого подставим в правую часть (2.42) выражения X T и X из (2.44) и (2.45). Тогда

F (x

) = X Т AX =(

T Р−1)A(Р

) =

T (Р−1 AР)

= F (

,

),

х

2

X

X

X

X

x

x

2

1,

1

т. е.

F (х

x

) = F (

) =

Т (Р−1 AР)

=

T

,

(2.46)

21

x

1

x

2

X

X

X

A

X

11,

где

		= Р−1 AР				(см. (2.36)).	(2.47)
	A
Выбираем новую СК так, чтобы
				λ	0
	A =			1			(2.48)
						,
					λ2
			0

где A – диагональная матрица.

Для матрицы (2.48) квадратичная форма (2.38), (2.37) запишется в виде

(2.39), т. е.

	F (				,			) = λ					12 + λ						22 .
			x	1		x	2					x			2		x
											1
Таким образом, необходимо, чтобы
					λ					0
	A	=			1				λ		= Р−1 AР .													(2.49)
					0
										2
Умножим (2.49) слева на матрицу преобразования Р
			λ				0						× Р−1 AР = AР											(2.50)
	Р			1			λ		= Р
			0
								2
или
α						α					λ		0			=			α λ		α	λ		(2.51)
			11			α		12			1		λ							11 1	α	12 2	.
α			21								0								α λ			λ
								22					2							21 1		22 2
Одновременно													α						α		a11α11 + a12α21			a11α12	+ a12α22
					a					a
	AР =						11				12			11						12						.
																			α		=			a21α12	+ a22α		(2.52)
					a21					a22 α21										22	a21α11 + a22α21					22
Из равенства правых частей равенств (2.51) и (2.52) получаем
a11λ1 = а11α11 + a12α21																			или		α12λ2 = а11α12 + a12α22 .					(2.53)
a21λ1 = a21α11 + a22α21																					α22λ2 = a21α12 + a22α 22

Равенства (2.53) окончательно можно записать в виде:

	α11 (а11 − λ1 ) + α 21a12	= 0 ;	(2.54)
	α11a21 + α 21 (a22 - λ1 ) = 0 ;
	α12 (а11 − λ2 ) + α 22 a12	= 0;	(2.55)

α12 a21 + α 22 (a22 − λ2 ) = 0.

В системах (2.54), (2.55) неизвестны коэффициенты αij. Для того чтобы системы (2.54) и (2.55) имели не нулевое решение необходимо и достаточно, чтобы их определители были равны нулю, т. е.

а11 - λ1	a12		= 0 и		a11 - λ2	a12		= 0 .	(2.56)
a21	a22 - λ1				a21	a22 - λ2

Числа λ1 и λ2 являются корнями квадратичных уравнений