1.7. Дифференцирование матричных выражений

Если - вектор-функция, где- вектор аргументов,

то - матрица частных производных вектор-функции по вектору аргументов.

Пример.

Если Fm(Xn1) = AmnXn1, то

Если Fm(Xn1) = X1nTAnnXn1 и Ann - симметричная матрица, то

Если

-квадратичная форма.

Задание №5.

1. Составьте матрицу частных производных вектор-функции по вектору аргументов:

2. Найдите

3. Найдите

Pnn - симметричная матрица.

2. Коррелатный способ уравнивания

2.1. Условные уравнения

Пусть измерено n величин у1, у2, ..., уn с весами р1, р2, ..., рn.

Обозначим t - число необходимых измерений;

r = n - t (1)

- число избыточных измерений.

Истинные значения измеренных величин Yi связаны между собой уравнениями:

Фj(Y1, Y2, ..., Yn) = 0, (j = 1, 2, ..., r). (2)

Уравнения, выражающие математическую связь между истинными значениями измеренных величин, называются условными уравнениями связи. В систему включают только независимые уравнения в количестве r = n - t, (r < n). Если число уравнений будет больше r, появятся зависимые уравнения и задача уравнивания станет неопределенной. Если число уравнений окажется меньше r, после уравнивания останутся невязки.

Подстановка в уравнения (2) результатов измерений приводит к системе:

Фj(y1, y2, ..., yn) = wj, (j = 1, 2, ..., r), (3)

в которой невязки wj являются истинными ошибками соответствующих функций Фj.

Для устранения невязок отыскивают поправки vi к результатам измерений из решения системы

Фj(y1 + ν1, y2 + ν2, ..., yn + νn) = 0, (j = 1, 2, ..., r) (4)

под условием МНК

[pv²] = min. (5)

Условные уравнения (4) могут иметь нелинейный вид. Способов решения систем нелинейных уравнений произвольного вида не существует. Чтобы решить задачу, функции (4) приводят к линейному виду разложением в ряд Тейлора. Полагая, что νi << yi, рассматривают поправки νi, как приращения аргументов yi. Функции Фj должны быть дифференцируемы.

Фj(y1 + ν1, y2 + ν2, ..., yn + νn) = Фj(y1, y2, ..., yn) +

Нелинейными членами разложения (остатком R) пренебрегают.

Обозначают:

Фj(y1, y2, ..., yn) = wj

- невязки - свободные члены условных уравнений поправок;

- коэффициенты условных уравнений поправок - частные производные от функций Фj, вычисляемые по результатам измерений.

(6)

- система условных уравнений поправок или в матричном виде:

АrnVn1 + Wr1 = 0. (7)

Здесь - матрица коэффициентов;

- вектор поправок к результатам измерений;

- вектор невязок.

2.2. Весовая функция

Для оценки точности уравненных величин составляют весовую функцию. Это математическое выражение оцениваемой величины (координаты, отметки и т.п.) в виде функции уравненных результатов измерений

F = F(y1 + ν1, y2 + ν2, ..., yn + νn). (8)

Весовую функцию приводят к линейному виду разложением в ряд Тейлора

Обозначают

F(у1, у2, ..., уn) = f0 - постоянная (не вычисляется).

- коэффициенты функции.

F = f0 + f1ν1 + f2ν2 + ... + fnνn = f0 + F1nТVn1. (9)

- весовая функция в линейном виде,

где - вектор коэффициентов функции.