2.3. Нормальные уравнения коррелат

Систему (7) условных уравнений поправок решают под условием (5) МНК

- матрица весов результатов измерений.

Используют метод Лагранжа с неопределенными множителями, называемыми в геодезии коррелатами.

- вектор коррелат.

Решение приводит к образованию системы нормальных уравнений коррелат

(10)

- матрица коэффициентов нормальных уравнений. Коэффициенты, стоящие на главной диагонали, называются квадратичными. Они всегда положительны. Остальные коэффициенты неквадратичные.

πi = 1/pi - обратный вес результата измерения.

(11)

- нормальные уравнения коррелат.

Из решения нормальных уравнений находят коррелаты к1, к2, ..., кr, а затем поправки к результатам измерений по формуле:

(12)

После этого вычисляют уравненные значения результатов измерений

(13)

и делают контроль уравнивания подстановкой уравненных измерений в условные уравнения связи, невязок не должно быть:

(14)

Если измерения равноточные, вес измерения равен единице, pi = πi = 1, матрицы весов и обратных весов единичные Pnn = Пnn = E.

2.4. Составление нормальных уравнений коррелат

Пусть r = 2 и от системы условных уравнений поправок

требуется перейти к системе нормальных уравнений коррелат:

Подлежит оценке точности весовая функция

С этой целью коэффициенты условных уравнений и функции записывают по столбцам в таблицу (табл. 1). Под таблицей помещают вычисленные значения коэффициентов нормальных уравнений коррелат, а также величины [πaf], [πbf], [πff], необходимые для дальнейшей оценки точности функции. Столбцы pν и ν заполняют позднее.

Таблица 1

Таблица коэффициентов условных уравнений и функции

Здесь [a], [b], [f], [S] - cуммы чисел по столбцам.

[πaa] = π1a1a1 + π2a2a2 + ... + πnanan; [πab] = π1a1b1 + π2a2b2 + ... + πnanbn и т.д.

Для контроля последующих вычислений по строкам таблицы находят суммы коэффициентов

Si = ai + bi + fi , (i = 1, 2, ..., n).

[S] = [a] + [b] + [f] - контроль вычисления Si.

Контроль вычисления коэффициентов нормальных уравнений:

(15)

Направление суммирования коэффициентов слева направо и сверху вниз и направо.

2.5. Решение нормальных уравнений по алгоритму Гаусса

Решение нормальных уравнений выполняют в схеме Гаусса (табл. 2).

Для вычисления преобразованных коэффициентов нужно постоянный множитель (-[ab] / [aa]), стоящий в первой элиминационной строке над квадратичным коэффициентом [bb], умножать по строке на вышестоящие числа и складывать каждый раз с элементами второго нормального уравнения

Правило развертывания символа Гаусса: "Cимвол развертывается в разность. Уменьшаемое - тот же символ, но со значком на единицу меньше. Вычитаемое - дробь. Знаменатель дроби - квадратичный коэффициент, буква которого соответствует номеру развертываемого символа. Числитель - произведение двух символов, каждый из которых получен заменой буквы уменьшаемого на букву знаменателя".

Таблица 2

Схема решения нормальных уравнений коррелат (r = 2; πi = 1)

Последняя коррелата равна числу, стоящему в столбце w последней элиминационной строки. Коррелата к1 вычисляется с использованием чисел первой элиминационной строки от столбца w налево.

[vv] или [pvv] - для неравноточных измерений - получают как сумму произведений чисел элиминационных строк столбца w на вышестоящие числа того же столбца, знак "минус" отбрасывают:

(16)

Обратный вес функции 1/PF получают, как сумму [ff] и произведений чисел элиминационных строк столбца F на вышестоящие числа того же столбца:

Заключительный контроль решения нормальных уравнений осуществляется подстановкой коррелат в суммарное уравнение:

([aS] - [af])к1 + ([bS] - [bf])к2 + ... + ([rS] - [rf])кr + [w] = 0. (17)