ALL

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТОЧЕК

Специальные случаи.					d = 1, b = с = 0
X T x	y	a	0	ax 0 y	0x 1y ax	*		*
		0	1			y x	y

•где х* = ах — результат масштабирования координаты X.

•Эффект такого преобразования показан на рис. 1,а.

Рис . 1,а

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТОЧЕК

•Вообще при b = с = 0

X T x	y	a	0	ax 0 y	0x dy ax	dy x	*	y	*
		0	d

•Данное преобразование вызывает изменение обеих координат х и у вектора Р

•(рис. 1,b).

•Если а d, то координаты масштабируются различным образом.

•При a = d > 1 происходит растяжение вектора Р или масштабирование координат.

•Если 0 < a = d < 1, то сжатие.

Рис . 1,b

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТОЧЕК

•Если значение а или d отрицательное, то вектор отражается относительно координатных осей или относительно плоскости.

•Пусть b = с = 0, d = 1 и a = -1, тогда

X T x	y	1	0	1x 0 y	0x 1y x	y x	*	y	*
		0	1

•в результате получаем симметричное отражение относительно оси у (рис. 1с)

•Если b = с = 0, a = 1, d = –1, то выполняется симметричное отражение относительно оси х.

Рис . 1,с

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТОЧЕК

•Если b = с = 0, a = d < 0, то происходит отражение относительно начала координат, это показано на рис. 1,d,

•где a = -1, d = -1.

•Операции отражения и

масштабирование зависят только от диагональных членов матрицы преобразования.

Рис . 1,d

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТОЧЕК

• Рассмотрим теперь случай с недиагональными членами.

• Пусть a = d = 1, с = 0, тогда
•	X T x	y	1	b	x	*		*
			0	1		bx y x	y

•Заметим, что координата х* точки Р осталась неизменной, тогда как координата у* линейно зависит от исходных координат.

•Данное преобразование называется сдвигом (рис. 1е).

Рис . 1е

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТОЧЕК

•Аналогично, в случае,

•когда a = d = 1, b = 0,

преобразование приведет к сдвигу пропорционально координате у (рис. 1,f).

•Таким образом, видно, что

недиагональные члены матрицы преобразования создают эффект сдвига координат вектора точки Р.

Рис . 1,f

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТОЧЕК

•Прежде чем закончить с преобразованием точек, разберем действие общего преобразования, заданного выражением, когда начальный вектор лежит в точке начала координат,

•т. е.

X T x	y	a	b	ax cy	bx dy x	*	y	*
		c	d

•или, в случае начала координат,

0	0	a	b	0	0 x	*	y	*
		c	d

•Видно, что начало координат инвариантно относительно преобразования общего вида.

•Это ограничение устраняется при использовании однородных координат.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРЯМЫХ ЛИНИЙ

•Прямую линию можно определить с помощью двух векторов, задающих координаты ее конечных точек, рассмотрим математические операции над

конечными точками линии.

На рис. 2 изображена прямая, проходящая между двумя точками А и В. Положение векторов точек A и В задано следующим образом: [А] = [0 1] и

[В] = [2 3].

Рассмотрим матрицу преобразования

T 1 23 1

Преобразование векторов А и В с помощью матрицы [Т] дает новое положение векторов А* и В*

						3 1 A
A T 0 1 3			1
		1	2			*
						11 7 B
B T 2	3						*
		3	1
		1	2

Таким образом, результирующие координаты для точки А* – это х* = 3 и у* = 1. Аналогично, для В* : х* = 11, у* = 7.

Рис. 2 Преобразование отрезков.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРЯМЫХ ЛИНИЙ

•В более компактном виде отрезок АВ может быть представлен матрицей 2 х 2:

L		0	1
	2		3

Умножим эту матрицу на [Т]:

L T											L
	2	3 3		1			11		7
	0	1	1	2				3	1		*

•где компоненты [L*] представляют собой преобразование координаты векторов

•[А*] и [В*].

•Результат преобразования А А* и В В* показан на рис. 2,

•где х и у – это исходные оси координат, а x* и у* — преобразованные оси.

•Из рисунка видно, что преобразование сдвига [Т] увеличивает длину отрезка и изменяет его направление.

Рис. 2 Преобразование отрезков.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СРЕДНЕЙ ТОЧКИ

• На рис. 2 видно, что 2х2-матрица преобразует прямую линию у = х +1, проходящую между точками А и В в прямую y=3/4x-5/4, которая проходит между точками А* и В*.

• Фактически с помощью 2 х 2-матрицы осуществляется преобразование любой прямой в другую прямую. Все точки преобразованной линии непосредственно соответствуют всем точкам исходной линии. Это достаточно очевидно для конечных точек линии. Рассмотрим теперь преобразование средней точки прямой линии АВ.

	•	Допустим, что	T	a	b
	•	[А]=[х1 у1], [В] = [х2 у2] и
				c	d
	•
		Преобразуем одновременно две крайние точки:

A

x

y

a

b

x a y c

T

1

1

1

1

B

c

d

x2

y2

x2a y2c

x1b y1d			A*
x b y	2	d		*
2			B

•Итак, конечные точки преобразованной линии А* В* имеют следующие координаты

•[А*] = [ах1 + су1 bx1 + dy1] = [х1* у1*],

•[В*] = [ах2 + су2 bх2 + dy2] = [х2* у2*].