Тема №6. Переходные процессы в электрических цепях.

В электрических цепях, содержащих реактивные элементы при изменении режимов работы, возникают переходные процессы.

Изменение режима электрической цепи наблюдается при коммутации: включении, выключении, изменении нагрузки, коротком замыкании и т.п.

Характер изменения напряжений и токов на участках электрической цепи при переходном неустановившемся режиме можно определить путем решения линейных уравнений, составленных для каждой конкретной цепи.

Для определения начальных условий при переходных процессах используют два закона коммутации.

Первый закон коммутации формулируется следующим образом: в любой ветви с индуктивностью ток в момент коммутации сохраняет то значение, которое он имел до коммутации, и начнет изменяться именно с этого значения.

Например, при включении цепи с индуктивностью на постоянное напряжение ток в начальный момент времени равен нулю. Если допустить, что в такой цепи в момент коммутации будет наблюдаться скачок тока, то напряжение на индуктивности будет равно бесконечности, что противоречит второму закону Кирхгофа.

Согласно второму закону коммутации напряжение на конденсаторе в момент коммутации сохраняет то значение, которое оно имело до коммутации и начинает изменяться именно с этого значения.

Например, если включается цепь с конденсатором, который до этого не был заряжен, в момент коммутации напряжение на конденсаторе будет равно нулю.

Если предположить, что в момент коммутации напряжение на конденсаторе может измениться скачком, то ток будет равен бесконечности

и в цепи, всегда имеющей сопротивление, не будет соблюдаться второй закон Кирхгофа.

С энергетической точки зрения ток в индуктивности и напряжение на конденсаторе не могут измениться скачком, так как энергия магнитного поля емкости и энергия магнитного поля индуктивностине могут изменяться скачком, поскольку для этого потребовалось бы наличие бесконечно большой мощности, что лишено физического смысла.

Рассмотрим переходный процесс при включении цепи RC на постоянное напряжение Е (см.рис.6.1, ключ К в положении I).

Рис.6.1

Для любого момента времени для цепи на рис.2, когда ключ К в положении I, можно составить по второму закону Кирхгофа уравнение:

R_i+U_c=E(6.1)

Так как , можно записать

(6.2)

Всякий переходный режим представляют состоящим из принужденного (установившегося), который как бы наступил сразу, и свободного режима, наблюдаемого только во время переходного режима.

Учитывая это, запишем напряжение на емкости в виде

U_c=U_c^´ +U_c^´´(6.3)

где U_c^´- составляющая напряжения принужденного режима (или принужденная

составляющая напряжения);

U_c^´´- составляющая напряжения свободного режима (или свободная

составляющая напряжения).

Уравнение (2) с учетом (3) будет иметь вид

(6.4)

Для принужденного (установившегося) режима, когда переходный процесс закончился, уравнение цепи

(6.5)

тогда уравнение свободного режима, если из (6.4) вычесть (6.5), запишется следующим образом

(6.6)

Обратим внимание на то, что свободный процесс обусловлен только внутренней реакцией цепи на изменение ее режима, поэтому в уравнении (6) нет члена, выражающего воздействие извне.

Уравнение цепи для свободного режима есть однородное линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Для его решения записывается характеристическое уравнение

RCP + 1 = 0

Решение этого уравнения

Общее решение уравнения (6.6) имеет вид

Напряжение на емкости в соответствии с уравнением (6.3)

(6.7)

Принужденная составляющая напряжения установится в цепи, когда конденсатор зарядится, ток в цепи станет равным нулю, а напряжение на конденсаторе равно приложенному напряжению, т.е. . Тогда

(6.7а)

Постоянная А определяется из начальной условий, учитывая второй закон коммутации.

В момент включения цепи, при t=0 (момент замыкания ключа К) согласно второму закону коммутации U_c=0.

Из (7а) определяем А=-Е.

Таким образом, напряжение на емкости в период переходного процесса будет изменяться следующим образом:

(6.8)

где τ=RC- постоянная времени цепиRC.

τ имеет размерность времени.

Ток переходного процесса

(6.9)

Кривые изменения U_c=ƒ(t), U´_c=ƒ(t),U^´´_c=ƒ(t) иi=ƒ(t) показаны на рис.3.

В начальный момент времени t=0, i=.

Рис.6.3

Рассмотрим процесс разрядки конденсатора на сопротивление R (рис6..2, когда ключ К переведен в положение 2). После замыкания ключа К напряжение на емкости U_свызовет в цепь ток i, конденсатор начнет разряжаться.

По второму закону Кирхгофа, если направления тока и напряжения совпадают, уравнение цепи будет иметь вид

(6.10)

Принужденное напряжение U^´и принужденный ток i^´в цепи равны нулю.

Свободная составляющая тока

…………………………………………..(6.11)

(11)

Тогда (6.10) запишется в виде:

……….(6.12)

Это однородное дифференциальное уравнение первого порядка, как и уравнение (6.6).

Решение уравнения (12)

Cпомощью второго закона коммутации определяем значение постоянной А:

при t=0, U_c=U₀=E.

Таким образом, напряжение на емкости при разрядке конденсатора

(6.13)

где τ=RC - постоянная времени цепи RC.

Уравнение для тока разрядки в цепи можно получить, если подставить U_cв (6.10) или (6.11).

(6.14)

Кривые изменения U₀=ƒ(t) иi=ƒ(t) показаны на рис6..4.

Рис6..4

Для цепи RL можно провести рассуждения, аналогичные тем, какие сделаны для цепи RC.

Поскольку принужденная и свободная составляющие тока и напряжения введены для удобства рассмотрения переходного процесса, на экране осциллографа будут только действительные токи и напряжения.

Для общего случая, когда время замкнутого и разомкнутого состояний цепи равно времени переходного процесса (t_пп≈4τ), кривые изменения напряжений на элементах цепи будут иметь вид, аналогичный показанному на рис.5 а, б (цепьRC) и на рис. 6 а, б (цепь RL).

В лабораторной работе функции ключа К выполняет генератор прямоугольных импульсов ГПИ.

Постоянная времени цепи характеризует длительность переходного процесса t_пп=(3÷4)τ и составляет доли микросекунд. Для цепи RC постоянная времени τ=RC, для цепи RL .

Графически τ определяют следующим образом. К кривой U=ƒ(t) проводят касательную (к любой точке кривой) и измеряют подкасательную (отрезок от точки касания до точки пересечения касательной с асимптотой (см.рис.3 и рис.4).

Величину, обратную постоянной времени τ, называют коэффициентом затухания .

Значения напряжения U и времени t определяют с помощью осциллографа, поэтому кривые U(t) следует зарисовывать строго по клеточкам на экране осциллографа.