9.12. Расчет рабочих характеристик

Рабочими характеристиками асинхронных двигателей называют зависимости P₁, I₁, cosφ, η, s₁ = f (P₂). Часто к ним относят также за­висимости М = f (P₂) и I₂ или = (P₂) [6].

Методы расчета характеристик базируются на системе уравне­ний токов и напряжений асинхронной машины, которой соответст­вует Г-образная схема замещения (рис. 9.55). Г-образная схема полу­чена из Т-образной схемы замещения (см. рис. 9.47), в которой ветвь, содержащая параметр Z₁₂, вынесена на вход схемы. Т-образ­ная и Г-образная схемы идентичны для данной конкретной ЭДС, для которой рассчитывают комплексный коэффициент , равный взятому с обратным знаком отношению вектора напряжения фазык вектору ЭДС —

В асинхронных двигателях при изменении тока от синхронного холостого хода до номинального изменяется незначительно. Поэ­тому для получения рабочих характеристик коэффициент, рассчи­тывают для синхронного холостого хода и принимают его значение неизменным. Это не вносит заметных погрешностей в расчет харак­теристик, так как значение коэффициента, во всем диапазоне изме­нения нагрузки от Р₂ = 0 до Р₂ = Р_2ном изменяется лишь в третьем или четвертом знаке.

Корректировку коэффициента , обычно производят лишь при расчете пусковых характеристик или режимов работы двигателя с большими скольжениями, при которых ток статора существенно превышает номинальный.

Для расчета рабочих характеристик коэффициент определяют из выражения

Рис. 9.55. Г-образная схема замещения асинхронной машины (а)

и соответствующая ей векторная диаграмма (б)

где

(9.222)

В асинхронных двигателях мощностью более 2 — 3 кВт, как пра­вило, | γ | ≤ 1°, поэтому реактивной составляющей коэффициента с₁, можно пренебречь, тогда приближенно

(9.223)

При более точных расчетах определяют и активную, и реактив­ную составляющие c₁ по следующим формулам:

(9.224)

Полное значение

(9.225)

Как видно, выражение (9.223) может быть получено из (9.225) при условии r₁₂ << х₁₂ и r₁ << х₁₂, что практически всегда имеет место в асинхронных машинах мощностью Р₂ ≥ 2...3 кВт. При этих же условиях с_1p ≈ 0 и с_1a = с₁.

Рабочие характеристики можно рассчитать по круговой диаграмме или аналитическим методом. Расчет по круговой диаграмме более нагляден, но менее точен, так как требует графических построений, снижающих точность расчета. Аналитический метод более универсален, позволяет учитывать изменение отдельных пара­метров при различных скольжениях и может быть легко переведен на язык программ при использовании в расчетах ЭВМ.

Аналитический метод расчета. В настоящее время практически все расчеты проводят аналитическим методом. Формулы для расчета рабочих характеристик приведены в табл. 9.28 в удобной для руч­ного счета последовательности. Расчет характеристик проводят, задаваясь значениями скольжений в диапазоне s ≈ (0,2...1,5) s_ном. Но­минальное скольжение можно предварительно взять при s_ном ≈ . Для построения характеристик достаточно рассчитать значения требуемых величин для пяти - шести различных скольжений, выбранных в указанном диапазоне примерно через равные интервалы (см. при­мер расчета).

Перед началом расчета рекомендуется выписать значения посто­янных, не зависящих от скольжения величин, как это показано в формуляре и в примере расчета. К таким величинам относятся но­минальное напряжение фазы U_1ном, сопротивления r₁ и , сумма по­терь P_cт + P_мех (для двигателей с фазным ротором также Р_тр.щ) и со­ставляющие тока синхронного холостого хода: реактивная I_0р ≈ I_μ и активная, которую определяют из выражения

, (9.226)

Выписывается также значение коэффициента с₁, определенное по (9.223) или по (9.225), и расчетные величины, обозначенные в фор­муляре а, а', b и b' . Формулы для их определения зависят от приня­того (точного или приближенного) метода расчета с₁.

Если |у| ≤ 1°, то можно использовать приближенный метод, так как в этом случае c_1р ≈ 0 и с₁ ≈ 1 + х₁/х₁₂. Тогда

(9.227)

Если же расчет с₁ проводить по уточненным формулам (9.224) и (9.225), то

(9.228)

Расчет характеристик рекомендуется проводить в следующей по­следовательности.

Вначале находят активную и реактивную составляющие комп­лексного сопротивления правой ветви схемы замещения (см. рис. 9.55):

Z_ВЕТВИ = c₁(r₁ + jx₁) + j + , (9.229)

где

(9.229а)

Из (9.229) с учетом (9.227) или (9.228) получают

R = a' + а, (9.230)

X = b; (9.231)

. (9.232)

Далее находят (см. рис. 9.55)

и

Составляющие тока статора являются суммами активных и реактивных составляющих токов параллельных ветвей схемы замеще­ния:

(9.233)

Полный ток статора

(9.234)

Приведенный ток ротора

. (9.235)

Ход последующих расчетов ясен из приведенных формул в фор­муляре (табл. 9.30).

Таблица 9.30. Формуляр расчета рабочих характеристик асинхронных двигателей

Р_ном =…; 2р =…; U_1ном =….В; I_1ном =…А; I_0a =…А;

I_0р ≈ I_μ =…А; Р_ст + Р_тр.щ. + Р_мех =…кВт;

Р_э.щ.ном = …кВт: r₁ =…Ом; r^/₂ =…Ом; с₁ =…

a^/ =…; a = …Ом; b^/ =…Ом; b =…Ом

№ п/п	Расчетная формула	Едини- цы вели- чины			Скольжение
			0,005	0,01	0,015	...	sном
1		Ом
2		Ом
3	R = a +	Ом
4	X = b +	Ом
5		Ом
6		А
7		-
8		-
9		А
10		А
11		А
12		А
13	P1 = 3 U1номI1a 10 ^-3	кВт
14	Рэ1= 3I1^2 r1 10^-3	кВт
15	Рэ1= 3(I1^1) ^2 r^/2 10^-3	кВт
16	Рэ.щ. ≈ Рэ.щ.ном. (I1/I1ном)^*	кВт
17	Рдоб= 0,005 Р1	кВт
18	Σ Р = Рст+ Рмех+ Ртр.щ+ Рэ1+ Рэ2+ Рэ.щ+ Рдоб	кВт
19	Р2= Р1- Σ Р	кВт
20	η = 1 - Σ Р / P	–
21	cos φ = I1a / I1	–

*Для двигателей с короткозамкнутым ротором Р_э.щ.ном = 0.

После окончания расчета для принятых значений скольжения строится характеристика s = f (P₂), по которой уточняется значение s_ном, соответствующее заданной номинальной мощности Р_2ном (см. пример расчета на рис. 9.77), и заполняется последний столбец фор­муляра.

В приведенных формулах не учтено возможное изменение пара­метров при s > s_ном. Поэтому при расчете характеристик двигателей с двухклеточными короткозамкнутыми роторами или с роторами, имеющими фигурные пазы, в которых в повышенной степени про­является действие эффекта вытеснения тока, для каждого из приня­тых значений скольжения, больших s_ном, необходимо уточнять зна­чения параметров r'₂ и х'₂ (см. § 9.13).

Рабочие характеристики асинхронного двигателя мощностью 15 кВт приведены в примере расчета (см. § 9.17).

Расчет рабочих характеристик по круговой диаграмме. Круговая диаграмма асинхронного двигателя изображена на рис. 9.56 [5]. Ис­ходными данными для ее построения являются:

ток синхронного холостого хода /о, А,

(9.236)

где I_0a – по (9.266); I_0p ≈ I_μ

Коэффициент с₁ рассчитывают по (9.223) или по (9.225).

Сопротивления короткого замыкания

(9.237)

Рис. 9.56. Круговая диаграмма асинхронной машины

Чтобы размеры круговой диаграммы были удобны для работы, целесообразно вначале выбрать ее диаметр DK (в пределах 200. ..250 мм), после чего рассчитать масштабы: масштаб тока, А/мм: ; масштаб мощности, Вт/мм:m_P = 3 U_ном m_I; масштаб момента, Нм/мм: m_M = m_P / Ω , где Ω = .

При построении диаграммы вектор напряжения направля­ют по оси ординат ОВ₁. Из начала координат строят вектор тока

синхронного холостого хода ОА₀ I₀ — под углом φ₀ к оси ординат φ₀ = arccos . ТочкуA₀, удобно найти, отложив по вертикальной и горизонтальной осям ее координаты, соответственно равные I_0a и I_0p .

Через точку A₀ проводят линии A₀F₀ || ОВ и A₀F под углом 2γ к оси ординат. Из-за малости γ построение угла < F₀A₀F удобно вы­полнять следующим образом. В произвольной точке F'₀ прямой A₀F₀ восстанавливают перпендикуляр к линии A₀F₀ и откладывают на нем отрезок

| F'₀ F''₀| = | А₀ F'₀| tg 2γ ≈ | А₀ F'₀| 2 tg γ;

Линия A₀F определяет положение диаметра круговой диаграм­мы. Отложив на ней отрезок |А₀О'| = 0,5 D_k, проводят окружность с центром О' радиусом 0,5D_K. Через произвольную точку F₁ диа­метра A₀F' проводят линию (F' F₁) ┴ (A₀F) и откладывают на ней отрезки |F₁F₂| = |A₀F₁| и |F₁F₃| = |A₀F₁|. Через точку А₀ и точки F₂ и F₃, проводят прямые до пересечения их с окружностью соответственно в точках А₂ и А₃. На оси ординат откладывают от­резок |OA₁| = Р₀/m_р, где Р₀ = P_ст + 3 + Р_мех, и через точку А₁ про­водят |А₁А'₀| || ВО. Точку А'₀ соединяют с точками О и А₃. На этом построение круговой диаграммы заканчивается.

Окружность диаметром D_K и с центром О' является геометрическим местом концов векторов тока статора двигателя при различ­ных скольжениях. Точка окружности A₀ определяет положение кон­ца вектора тока I₀ при синхронном холостом ходе, а точка А'₀ — при реальном холостом ходе двигателя. Отрезок О А'₀ определяет ток I_x.x, а угол < A'₀OB₁ – cos φ_к.з. Точка А₂ окружности определяет положе­ние конца вектора тока при коротком замыкании (s = 1), отрезок ОА₃ — ток I_к.з, а угол < А₃ОВ₁ – соs φ_к.з. Точка А₂ определяет положе­ние конца вектора тока при s = ∞.

Промежуточные точки на дуге окружности А₀А₃ определяют по­ложение концов векторов тока I₁ при различных нагрузках в двига­тельном режиме (0 < s ≤ 1). Ось абсцисс диаграммы ОB является ли­нией первичной мощности P₁. Линией электромагнитной мощности Р_эм или электромагнитных моментов М_эм является линия А₀А₂. Ли­нией полезной мощности на валу (вторичной мощности Р₂) является линия А'₀А₃. По круговой диаграмме для тока статора, которому со­ответствует точка А на окружности, можно рассчитать необходи­мые для построения рабочих характеристик данные:

ток статора, А, I₁ = m_I |OA|;

ток ротора, А, I'₂ = m_I |A₀A|;

первичную мощность, Вт, P₁ = m_р |AN|, где AN ┴ ОВ;

электромагнитную мощность, Вт, Р_эм = m_р |АС|, где АС ┴ A₀F;

электромагнитный момент М_эм = m_м |АС|;

полезную мощность, Вт, Р₂ = m_р |АЕ|;

КПД |АЕ| / |AN|;

коэффициент мощности cos φ = cos < AOB₁;

скольжение двигателя |DС| / |АС|.

Для построения рабочих характеристик вначале находят поло­жение на окружности точки А_н, которая соответствует номинально­му режиму работы. Для этого, исходя из заданной номинальной мощности Р_2ном, рассчитывают длину отрезка |E'F_н| = P_2ном / m_p и от­кладывают на линии F₁F' ┴ A₀F от точки ее пересечения Е' с линией полезной мощности А'₀А₃. Через точку F_н проводят F_нA_н || А'₀А₃. Точ­ки пересечения F_HA_H с окружностью А_н и А'_н определяют положение концов вектора тока I₁ при мощности Р_2ном. Точка А_н, ближайшая к А'₀, соответствует номинальному режиму, точка А'_Н — режиму неу­стойчивой работы двигателя (при s > s_кp).

Наметив на дуге А₀А_н несколько точек а₁, а₂, а₃, ..., определяют соответствующие каждой из них данные I₁, Р₁, Р₂, соs φ, η, М, s.

Из круговой диаграммы можно найти также приближенное значение кратности максимального момента М_mах. Оно будет несколь­ко занижено, так же как и в аналитическом расчете без учета изме­нения параметров от насыщения полями рассеяния и от действия эффекта вытеснения тока.

Расчет рабочих характеристик по круговой диаграмме связан с определенными погрешностями при выполнении графических работ. Некоторое уточнение может дать сочетание графического метода и элементов аналитического. Например, I₁, I₂ и cos φ определяют по круговой диаграмме, а суммы потерь, Р₂, Р₁, s и η - расчетным путем, используя данные круговой диаграммы. В этом случае можно также учесть дополнительные потери, которые при построении круговой диаграммы не принимают во внимание [6].

Такая методика расчета иногда применяется на практике. Одна­ко все более широкое распространение ЭВМ делает аналитический метод расчета рабочих характеристик более предпочтительным.