экзамен / TEHNIChESKAYa_TERMODINAMIKA

зависимости от условий протекания процессов, что может быть проиллюстрировано на примерах частных процессов. Частные процессы – это процессы , протекающие при постоянстве одного из параметров. Поскольку в простейшей термомеханической системе есть только две формы энергетического воздействия: теплота и работа, причём каждая обладает своей парой параметров, то такая система имеет только четыре параметра: давление, объем ,температуру, энтропию – и, следовательно, четыре частных процесса.

Процесс при постоянном объеме (изохорический процесс, V = const ), представленный в цилиндре с поршнем, без перемещения поршня при подводе или отводе теплоты, будет соответствовать отсутствию работы расширения или сжатия и, следовательно, теплота процесса в соответствии с первым законом

термодинамики, будет равна изменению внутренней энергии:
dQ = dU ; dL = 0	(2.15)

Для идеального газа, у которого отсутствуют силы взаимодействия между молекулами, внутренняя энергия, в связи с этим, не имеет потенциальной части и состоит только из кинетической энергии, то есть энергии движения, определяемой температурой. Таким образом, теплоемкость процесса при постоянном объеме (cv), будет соответствовать только той теплоте, которая идет на изменение внутренней энергии, а именно её кинетической части, и, следовательно, в любых процессах изменение

внутренней энергии может рассчитываться через cv :
dU = mcvdT	(2.16)
и если принять cv за постоянную величину, то
U = m(U2 – U1) = mcv T	(2.17)

В процессе при постоянном давлении, изобарном процессе (р=const ), теплота пойдет не только на изменение внутренней энергии, но и на совершение работы расширения, то есть теплоемкость процесса при постоянном давлении должна быть большей на величину этой работы:

dQ = mcpdT = dU +dL = mcvdT + mpdv	(2.18)
20

или в интегральной форме
Q = U + L ; q = u + l ; q = (u2-u1) + p(v2-v1)
q = ( u2 + pv2 ) - ( u1 + pv1 ) = i2 – i1	(2.19)

и оказывается, что теплота в этом случае соответствует изменению функции состояния (u + pv ), получившей название энтальпии i.

Приняв ср за постоянную величину (что для идеальных газов является справедливым) можно подсчитать изменение энтальпии в различных процессах:

I = mcp	T		(2.20)
В изобарном процессе
Q = I = mcp		T	(2.21)
Для изотермического процесса ( T = const )			подвод или отвод тепла не
вызывает изменения внутренней энергии:
dU = mcvdT = 0	;	U = 0	(2.22)
Следовательно, все тепло связано с работой расширения или сжатия:
dQ = dL ;	Q = L		(2.23)
Выражение теплоты через калориметрическое уравнение
dQ = mcdT			(2.24)

показывает, что теплоемкость в этом случае принимает значения, равные бесконечности (±∞ в зависимости от подвода или отвода тепла), что не позволяет вести подсчеты теплоты в этом процессе через теплоемкость:

	dQ ≠ 0 ;	dT = 0 ;	c = ±∞ ; dQ = m(±∞ ∙ 0)	(2.25)
Для	процессов	без	теплообмена - адиабатных	или

изоэнтропийных - ( S = const ; Q = 0 ) в соответствии с первым законом

термодинамики:

dQ = 0; dL = -dU ; dT ≠ 0 ; c = 0 ; dQ = mcdT = m∙0∙dT = 0

(2.26)

Работа в этом процессе может рассчитываться через изменение внутренней энергии

21

L = - U = m(u1-u2)

(2.27)

или принимая сv за постоянную величину

L = - U = mcv(T1 – T2)

(2.28)

Основным способом определения теплоемкости является экспериментальный, учитывающий все особенности восприятия тепла веществом. Для твердых и жидких тел, где состояние вещества обусловлено силами взаимного притяжения молекул, соответствующих очень высоким степеням сжатия (сотни атмосфер или бар), теплоемкость оказывается величиной практически постоянной (определяемой опытным путем и представляемой в справочной литературе). Для газов теплоемкость, как функция процесса, может быть определена при постоянном объеме или давлении (сv и сp), причем у реальных газов она также существенно зависит от температуры ( а также от давления), что, как правило, и отражают справочные данные. Однако молекулярно-кинетическая теория газов позволяет обосновать и дать методику расчета этих теплоемкостей, в основе которой лежит уравнение Майера (без учета зависимости теплоемкости от температуры).

Уравнение Майера может быть получено на основе следующих представлений. В процессе при постоянном давлении

dq = du + dl ; cpdT = cvdT + pdv

(2.29)

так как p=const , то из уравнения состояния

pdv + vdp = RdT

(2.30)

вытекает

vdp = 0 ; pdv = RdT

(2.31)

и, следовательно,

cpdT = cvdT + RdT ; cp = cv + R

(2.32)

По молекулярно-кинетической теории газов значения теплоемкостей

22

определяются числом степеней свободы движения молекул и, следовательно, числом атомов в молекуле

cv = i/2R

(2.33)

где i- число степеней свободы, по 1/2 R на каждую степень свободы.

Для одноатомных молекул имеется только три степени свободы

поступательного движения. Отсюда
cv = 3/2R		; cp = cv + R = 5/2R			(2.34)
Величина отношения		cp	к cv	(называемая	показателем
адиабаты) составит
	k= cp/cv = 5/3 = 1,67				(2.35)
Для двухатомных	молекул		добавляются две степени свободы

вращательного движения (вдоль оси связи атомов в двухатомной молекуле, представляемой в виде гантели, степенью свободы пренебрегают). Отсюда

cv = 5/2R ; cp = 7/2R ; k = cp/cv = 7/5 = 1,4

(2.36)

Для трех и многоатомных молекул имеется шесть степеней свободы, что дает для:

cv = 6/2R ; cp = 8/2R ; k = cp/cv = 8/6 = 1,33

(2.37)

Известные значения k и уравнение Майера позволяют производить расчеты теплоемкостей различных газов. Путем почленного деления слагаемых в уравнении Майера на cv получается

cp/cv = cv/cv + R/cv; k = 1 + R/cv;

(2.38)

откуда

cv = R/k-1 ; cp = kcv = kR/k-1

(2.39)

Зная численные значения молярной массы различных газов, определяющих численные значения соответствующих газовых постоянных,

23

можно рассчитывать указанные значения теплоемкостей.

Важное значение представляет первый закон термодинамики для открытых систем. Примером термомеханической открытой системы может служить поток газа в трубопроводе (рис.2.3)

w

dv

Рисунок 2.3 Поток газа в трубопроводе

Записав уравнение энергетического баланса в дифференциальной форме для 1 кг рабочего тела, можно сделать некоторые пояснения:

δq = du + pdv + vdp + dw2/2 + (gdh) (2.40)

Выделенный на рис.2.3 объем v под действием давления может сжиматься, что выражает величина работы pdv и перемещаться, что выражает работа vdp. При движении рабочего тела всегда присутствует кинетическая энергия dw2/2. В случае перемещения потока по высоте изменение энергии выражает составляющая gdh, которая в условиях горизонтального канала может отсутствовать. Если учитывать затраты работы на преодоление трения в потоке, то в правой части уравнения будет присутствовать работа трения, которая переходит в эквивалентное количество тепла в левой части уравнения, в связи с чем эти величины можно не вовлекать в уравнение. Суммарная величина du + pdv + vdp представляет дифференциальную форму ранее приведенной (2.19) термодинамической функции – энтальпии.

Введение энтальпии позволяет получить новую форму выражения уравнения первого закона термодинамики для термомеханической системы. Энтальпия, как энергетическая функция состояния, представляет сумму внутренней энергии и возможной работы газа или работы проталкивания

i = u + pv

(2.41)

Дифференциальная форма показывает, что эта работа состоит из двух

24

составляющих

di = du + pdv +vdp

(2.42)

одна из которых выражает работу расширения или сжатия (pdv) , а другая получила название располагаемой работы или работы открытой системы

vdp = dl0 ,

(2.43)

поскольку эта работа связана с вводом или выводом рабочего тела в систему или из неё. При выводе газа из системы эта работа совершается, при вводе затрачивается. В закрытой системе эта составляющая входит в величину внутренней энергии.

Замена (du + pdv) на dq в выражении энтальпии (по первому уравнению первого закона термодинамики) дает уравнение первого закона термодинамики для открытых систем:

di = dq + vdp ; dq = di –vdp ; dq = di – dl0

(2.44)

Это уравнение называется вторым уравнением первого закона термодинамики.

Учитывая, что располагаемая работа положительна по знаку, когда давление в системе падает, идет вынос вещества из системы, часто в уравнении

изменяют знак для располагаемой работы на противоположный
dl0 = -vdp ; dq = di + dl0	(2.45)

2.2. Уравнения политропных процессов

Протекание любых процессов в газах подчиняется всегда двум рассмотренным законам: уравнению состояния и первому закону термодинамики. Представляя для упрощения такое протекание процесса, при котором теплоемкость остается постоянной, его называют политропным, из

25

совместного решения этих двух уравнений могут быть получены функциональные зависимости между параметрами, которые и представляют уравнения политропного процесса.

Дифференциальные уравнения первого закона термодинамики и уравнения состояния, записанные для одного килограмма газа, составляют систему уравнений, из которой и выводятся уравнения процессов:

cdT = cvdT + pdv
pdv + vdp = RdT	(2.46)

Уравнения процессов могут быть представлены через любую пару параметров. Обычно основной формой называют уравнение, выраженное через p и v, поскольку через них выражается работа процесса, как наиболее важная в расчетах и анализе величина. В диаграмме p - v работа расширения или сжатия предстает в виде площади под линией процесса. В связи с этим диаграмму p - v называют рабочей диаграммой:

pvc-cp /c-cv = const

(2.47)

Линию процесса называют политропой. Вид этой линии, её наклон и кривизна определяются показателем

c-cp/c-cv ,

(2.48)

который принято обозначать как n и называть показателем политропы. Таким образом, уравнение политропного процесса предстает в форме

pvn = const ,	(2.49)
которое часто записывается через начальные и конечные параметры:
p1v1n = p2v2n ,	(2.50)

что позволяет рассчитывать неизвестный параметр или показатель политропы. При выводе уравнения или путем преобразований на основе дифференциальной формы уравнения состояния из представленного уравнения можно записать

26

уравнение процесса через любую пару параметров, в связи с чем широко используются и две другие разновидности уравнений политропного процесса:

Tvn-1 = const

T/pn-1/n = const,

(2.51)

которые также можно представить через начальные и конечные значения этих параметров:

T1v1n-1 = T2v 2n-1

T1/p1n-1/n = T2/p2n-1/n

T2/T1	= (v1/v2)n-1	(2.52)
T2/T1	= (p2/p1)n-1/n

Термодинамика как наука об энергии, основное внимание уделяет расчету и анализу энергетических величин процессов, то есть величин, входящих в уравнение первого закона термодинамики. Теплота процесса, учитывая постоянство теплоемкости в политропном процессе, подсчитывается

Q = mc T

(2.53)

где с , исходя из

n = c - cp / c – cv И cp/cv = k

(2.54)

выразится

с с		n k	(2.55)
	v	n 1

и, следовательно,

Q mc	n k	T	(2.56)
	v n 1

а изменение внутренней энергии

U =mcv T

(2.57)

27

и тогда работа процесса из первого закона термодинамики:

L Q - U mc	1 k	T	(2.58)
	v n 1

используя известные соотношения

cv = R/k-1

(2.59)

pV = mRT

и уравнения процесса можно получить большое разнообразие выражений для расчета работы процесса:

p

n 1

L

mR

T

mR

(T T

)

mRT

T

mRT

2

n

1

1

2

1

1

n 1

n 1 1

2

n 1

T

n 1

p

1

1

(2.60)

1

p V

p V

V

n 1

p V

идр.

1 1

1

1

n 1 1 1

2 2

n 1

V

2

Между термодинамическими величинами процесса существует взаимосвязь, показывающая, что при заданном значении показателя политропы соотношение между термодинамическими величинами строго определенное:

Q nn--k1 U

L	1 k	U	(2.61)
	n 1

Q 1n kk L kk 1n L

Для различных процессов идеального газа может быть рассчитано и изменение энтальпии

I = mcp T

(2.62)

28

Большое значение в теории и на практике имеют частные процессы, то есть процессы, протекающие при постоянстве одного из параметров. К ним часто обращаются при анализе процессов. Каждый частный процесс соответствует определенным значениям n и c политропных процессов, которые могут быть представлены в таблице.

n

0

1

k

±∞

c

cp

±∞

0

cv

Процесс

p=const

T=const

S=const

v=const

Уравнения для частных процессов могут быть получены из уравнений

политропного процесса при подстановке соответствующих значений n

или из

уравнения объединенного газового закона

p1 V1/T1 = p2 V2/T2

v = const , T/p = const ,

T2/T1 = p2/p1 ,

L = ∫ pdV = 0 , Q =

U = mcv

T

p = const

, T/V = const ,

T2/T1 = V2/V1 ,

Q = mcp T ,

U = mcv

T ,

L = Q-

U;

L = ∫ pdV = p(V2-V1) = mR(T2-T1)

T = const , pV = const , p2/p1 = V1/V2 ,

U = 0 ,

Q = L = ∫ pdV = mRT∫dV/V = mRT ln V2/V1 = p1V1 ln p1/p2

S = const ,

pVk

= const ,

p2/p1

= (V1/V2)k; TVk-1 =const ,

T2/T1

= (V1/V2)k-1

T/pk-1/k =

const ,

T2/T1

= (p2/p1)k-1/k

k 1

T

T

mR

T

T

mRT

1 T

p V

p

k

Q=0, L U mc

k

1

2

1

1 1

2

v

1

2

1 1

2

k 1

T

k 1

p

1

1

Связь между

с и n

29