- •Обыкновенные дифференциальные уравнения Общие понятия
- •Уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной
- •Геометрическая интерпретация. Понятие о задаче Коши
- •Уравнение, не содержащее искомой функции
- •Уравнение, не содержащее независимой переменной
- •Уравнение с разделяющимися переменными
- •Однородное уравнение
- •Уравнение в полных дифференциалах
- •Линейное уравнение
- •Уравнение Бернулли
- •Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной Основные понятия и определения
Уравнение, не содержащее искомой функции
Рассмотрим уравнение
или , (11)
где определена и непрерывна в интервале . Неопределенный интеграл (квадратура)
(12)
есть общее решение уравнения (11) в области
. (13)
Вся область (13) заполнена непересекающимися интегральными кривыми, каждая из которых представляет график частного решения уравнения (11).
Выберем любую точку х0 из интервала и в качестве первообразной в формуле (12) возьмем функцию переменного верхнего предела с нижним пределом х0, тогда общее решение (12) принимает вид
.
Полагая здесь , , найдем , так что можно записать
. (14)
Эта формула суть решение задачи Коши с начальными данными х0, у0. Видно, что решение задачи Коши (функция , стоящая в левой части формулы (14)) есть непрерывно дифференцируемая функция от независимой переменной х и от начальных данных х0 и у0.
Если считать у0 произвольной величиной, то формула (14) (суть неопределенный интеграл) есть общее решение в форме Коши уравнения (11) в области (13).
Пусть в уравнении (11) функция f(x) разрывна в точке , , причем именно обращается в бесконечность в этой точке и непрерывна во всех других точках, тогда формула (12) дает общее решение уравнения (11) в каждой из областей и ; (рис. 6).
Прямая является решением перевернутого уравнения
и должна быть присоединена к решению уравнения (11). Это решение может оказаться особым, если в каждой его точке нарушается единственность, как показано на рис. 6, а. Оно будет частным, если единственность сохраняется во всех точках (рис. 6, б).
Прямая по отношению к семейству интегральных кривых, образующих общее решение, может быть или огибающей и тогда – особое решение, или асимптотой, тогда – частное решение.
Примеры.
10. , , . Правая часть уравнения определена и непрерывна в каждом из интервалов , и обращается в бесконечность в точке х = 0. Общее решение находим по формуле (12)
в каждой из областей и . Прямая х = 0 является решением перевернутого уравнения, она является асимптотой интегральных кривых и потому частным решением рассматриваемого уравнения.
11. . Правая часть уравнения определена и непрерывна в интервале (–1, +1). В области , находим общее решение . Прямые – особые решения рассматриваемого уравнения, они являются огибающими семейства .
Уравнение, не содержащее независимой переменной
Рассмотрим уравнение
, (15)
где функция f(y) определена и непрерывна в интервале и нигде на этом интервале не обращается в нуль. Тогда в горизонтальной полосе
(16)
квадратурой немедленно находим общий интеграл
; (17)
этот же интеграл можно записать в форме Коши
, (18)
где х0 считается произвольной постоянной, а у0 – фиксированное число, .
Для уравнения (15) перевернутым уравнением будет
.
Уравнение не содержит искомой функции х, поэтому к нему применимо все сказанное относительно уравнения (11), в частности, по поводу особых решений.
Если f(y) обращается в нуль в некоторой точке из интервала , то прямая всегда является решением уравнения (15). Это решение будет особым, если – огибающая семейства кривых (17).
Заметим, что нахождение решения задачи Коши с начальными условиями при для уравнения (15) эквивалентно нахождению решения интегрального уравнения
. (19)
Уравнение с функцией специального вида
, (20)
где определена и непрерывна в некоторой области D, с помощью подстановки (замены неизвестной функции новой)
, , , (21)
приводится к уравнению вида (15).
Примеры.
12. . Правая часть данного уравнения определена и непрерывна при всех значениях у и обращается в нуль при . Разделяя переменные, квадратурой
, , находим .
Это выражение является общим интегралом уравнения, при его нахождении использовалась табличная формула (на математическом сленге «высокий логарифм»)
.
Здесь arth x и arcth x – арктангенс и арккотангенс гиперболические – являются обратными по отношению к прямым гиперболическим функциям, соответственно:
и .
Если обозначить прямую функцию как оператор , а обратную – , то в области их существования D (там, где они непрерывны и монотонны) справедливы тождества
.
Используя эти тождества и учитывая логарифмические представления
,
,
из общего интеграла немедленно находим общее решение данного уравнения
из которого следует, что линии являются горизонтальными асимптотами интегральных кривых и потому – частотными решениями (рис. 7). При графическом представлении общего интеграла данного уравнения, следует учесть, что гиперболический котангенс имеет еще и вертикальную асимптоту при равном нулю аргументе (рис. 7).
13. Проинтегрировать уравнение с начальными условиями:
а. , ; б. .
Запишем данное уравнение в виде . Предполагая , разделим переменные
.
Интегрируем в форме Коши (18)
.
Внесением под знак дифференциала
,
непосредственно интегрируем, с использованием формулы Ньютона–Лейбница
,
преобразуем .
Потенцируя и преобразуя, выразим искомую функцию через независимую переменную х и параметры х0 и у0
.
Это и есть общее решение данного уравнения в форме Коши, доставляющее частные решения соответствующих задач Коши прямой подстановкой начальных данных. Решения поставленных задач имеют вид (они показаны на рис. 8):
а. ; б.
Для графического построения общего интеграла удобно пользоваться формулой (17), «не убирая» постоянную С от переменной х. Для рассматриваемого уравнения она имеет вид
, или интегрируя, .
Потенцируя и освобождаясь от знака модуля, находим общее решение
из которого можно получить решение задачи Коши. В полуплоскости (верхнее выражение для общего решения) заданы начальные условия а), а в полуплоскости (нижнее выражение) заданы условия б). Заменяя переменные х и у в общем решении (общем интеграле) их начальными значениями х0 и у0, решаем полученное уравнение относительно неизвестной константы С. Найденное значение снова подставляем в общее решение (или интеграл) и тем самым осуществляем выбор частного решения – единственного решения задачи Коши. Для рассматриваемого примера эти действия выглядят так:
а. , , ;
б. , , .
Из вида общего решения (эскиз показан на рис. 8) следует, что линия является частным решением.
14. . Здесь правая часть определена и непрерывна в интервале и обращается в нуль на концах этого интервала. Квадратурой по формуле (17) находим общий интеграл
,
в полосе .
Применяя к обеим частям общего интеграла оператор (см. пример 12), получаем общее решение
, .
Линии являются огибающими данного семейства и потому особыми решениями (рис. 9).
15. . Это линейное уравнение относительно неизвестной функции и ее производной. Подстановкой , приводим его к уравнению вида (20)
, ,
которое с помощью подстановки (21)
,
приводится к уравнению . Это уравнение вида (15), его правая часть обращается в нуль на линии . Согласно формуле (17), находим общий интеграл и из него, потенцируя, общее решение
видно, что прямая является общим решением. Последовательно возвращаясь к старым переменным, находим общее решение промежуточного уравнения
(из которого видно, что прямая является частным решением промежуточного уравнения) и общее решение исходного уравнения в виде
Анализируя процесс получения этого решения, замечаем, что оно состоит из двух частей: частного решения – параболы и общего решения уравнения – функции . С другой стороны, заново решая уравнение (по-другому выбирая расположение произвольной постоянной С)
, , ,
, , ,
находим общее решение исходного уравнения
в более удобном для аналитических целей виде. Аналогичным образом может быть пересмотрено общее решение в примере 13.
16. Найти решение интегрального уравнения .
Это уравнение типа (19). Дифференцируя по х обе его части и учитывая, что производная от функции переменного верхнего предела равна подынтегральной функции, получаем задачу Коши. Найти единственное решение уравнения
, удовлетворяющее условиям у = 1 при х = 0.
Записывая общий интеграл дифференциального уравнения в форме Коши (18) и вычисляя, находим искомое решение
, .
17. . Это нелинейное уравнение вида (20), заменой переменных (21) его можно свести к уравнению вида (15) и найти общий интеграл. Но лучше рассмотреть перевернутое уравнение , которое суть линейное относительно неизвестной функции и ее производной; оно той же заменой сводится к уравнению вида (15). Как известно, внешне различные, общие интегралы прямого и перевернутого уравнений выражают одно и то же геометрическое место точек.
Найдем общий интеграл рассматриваемого уравнения, переходим к перевернутому
, , , , ,
, , .