- •Обыкновенные дифференциальные уравнения Общие понятия
- •Уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной
- •Геометрическая интерпретация. Понятие о задаче Коши
- •Уравнение, не содержащее искомой функции
- •Уравнение, не содержащее независимой переменной
- •Уравнение с разделяющимися переменными
- •Однородное уравнение
- •Уравнение в полных дифференциалах
- •Линейное уравнение
- •Уравнение Бернулли
- •Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной Основные понятия и определения
Уравнение с разделяющимися переменными
Уравнение с разделенными переменными
, (22)
где функции и непрерывны, не имеют особых решений. Общий интеграл такого уравнения пишется сразу
, (23)
или в форме Коши
. (24)
Если и не равны нулю одновременно, то решение задачи Коши можно получить, полагая С = 0 в форме (24). Если же , то требуются дополнительные исследования, поскольку точка может оказаться особой точкой уравнения (22), а значит, единственное решение с начальными данными x0, y0 может не существовать.
Уравнение с разделяющимися переменными. Дифференциальное уравнение
,
в котором непрерывные функции и могут быть представлены в виде произведения функций, зависящих только от одного аргумента
, ,
то есть дифференциальное уравнение
(25)
называется уравнением с разделяющимися переменными.
Предполагая, что , , путем деления на произведение уравнение (25) приводится к уравнению с разделенными переменными
.
Общим интегралом этого уравнения, а следовательно, и уравнения (25), будет
(26)
или
. (27)
Предположение , , может привести к потери частных решений. Если уравнения и имеют вещественные решения и , то (при ) и (при ) будут решениями уравнения (25). Эти решения, и только они, могут оказаться особыми, что проверяется дополнительным исследованием.
Решение задачи Коши с начальными данными x0, y0 при условии , , а и не равны нулю одновременно, можно получить из формулы (27), полагая С = 0. Если , то не гарантируется ни существование ни единственность решения.
Единственность не нарушается когда начальная точка лежит на одном из частных решений вида (), ().
Наконец, поле направлений в точке не определено, к этой точке примыкают решения (), ().
Уравнение вида
(28)
есть уравнение с разделяющимися переменными. Общий интеграл получается после разделения переменных квадратурой
. (29)
Если уравнение имеет вещественные решения вида , то прямые будут решениями уравнения (28). Эти решения могут оказаться особыми, других особых решений быть не может.
Уравнение с функцией специального вида
, (30)
где a, b, c – постоянные, заменой переменных преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными.
Примеры.
18. . Разлагая коэффициенты данного уравнения на множители, убеждаемся, что это уравнение с разделяющимися переменными (25)
.
Разделяя переменные, запишем общий интеграл в форме (26)
или
.
Подстановкой в исходное уравнение убеждаемся, что х = 1 и у = 1 являются частными решениями. Особых решений нет.
19. . Уравнение определено в полосе , . Общий интеграл получаем после разделения переменных
, .
Подстановкой в исходное уравнение убеждаемся, что линии являются решениями этого уравнения, более того, они являются огибающими интегрального семейства кривых и потому особыми решениями.
20. . Путем деления на произведение данное уравнение приводится к уравнению с разделенными переменными (22) .
Используя формулу (23), сразу находим общий интеграл ,
который для удобства записи окончательного результата перепишем в виде
,
или, потенцируя,
, .
Общий вид семейства интегральных кривых показан на рис. 10. Прямые , являются частными решениями данного уравнения, формально они не получаются из квадратуры, поскольку , но могут быть присоединены к общему интегралу уравнения (если положить ).
Замечание. В геометрических вопросах и при нахождении общих интегралах выгоднее считать х и у равноправными и принимать за независимое переменное то х, то у (как удобнее). Наоборот, в исследованиях теоретико-функционального характера (доказательство существования решения или единственности решения начальной задачи) всегда надо рассматривать у как функцию от х; тогда, конечно, ранее упоминавшиеся (27) прямые не являются решениями.
21. Найти решение дифференциального уравнения
,
удовлетворяющее начальному условию
.
Нетрудно видеть, что функция непрерывно по переменным х и у в любой области конечного диаметра, а значит всегда существует и при том единственное решение задачи Коши. Оно может быть найдено квадратурой (29) записанной в форме Коши, если положить
, , .
Если в качестве начального условия взять , то получится единственное тривиальное (вырожденное) решение .
22. . Это уравнение вида (30).
Положим . Тогда . Используя исходное уравнение, имеем
, разделяя переменные ,
квадратурой находим общий интеграл
или ,
. Возвращаясь к старым переменным и преобразуя, находим общее решение .