- •Обыкновенные дифференциальные уравнения Общие понятия
- •Уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной
- •Геометрическая интерпретация. Понятие о задаче Коши
- •Уравнение, не содержащее искомой функции
- •Уравнение, не содержащее независимой переменной
- •Уравнение с разделяющимися переменными
- •Однородное уравнение
- •Уравнение в полных дифференциалах
- •Линейное уравнение
- •Уравнение Бернулли
- •Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной Основные понятия и определения
Уравнение Бернулли
Дифференциальное уравнение Бернулли имеет вид
, (64)
где заданные функции и определены и непрерывны в интервале , а n – вещественное число, отличное от 0 и 1 (так как при или уравнение Бернулли обращается в линейное дифференциальное уравнение).
Уравнение Бернулли (64) приводится к линейному введением новой переменной
, . (65)
Для новой искомой функции и получаем уравнение
. (66)
Согласно формуле (59), общее решение уравнения (66)
, (67)
следовательно, общее решение уравнения Бернулли
. (68)
Из уравнения (64) видно, что при существует решение этого уравнения.
Если , то прямая является асимптотой всех интегральных кривых уравнения Бернулли, а, значит, частным решением этого уравнения, которое получается из формулы (68) при . (В формуле (68) можно положить и, заново переписав формулу, получить решение при ).
Если , то является особым решением уравнения Бернулли, оно не может быть получено из общего решения (68) ни при каком значении постоянной интегрирования С.
Из вышеизложенного следует, что вопросы, связанные с интегрированием и изучением поведения решений уравнения Бернулли, сводятся к аналогичным вопросам для линейного уравнения. Однако, классически уравнение (64) интегрируется непосредственно применением мультипликативной подстановки Бернулли (55) (или методом Лагранжа) без предварительного сведения его к линейному.
Примеры.
46. , а) ; б) .
Подстановкой (55) получаем вспомогательное уравнение
,
из которого определяем первую искомую функцию и
, , , .
Подставляем функцию и снова во вспомогательное уравнение и находим вторую искомую функцию v
, ; .
Согласно подстановке (55), общее решение данного уравнения запишем в двух видах:
а) ; б) , .
Отсюда решения поставленных задач Коши:
а) ; б) .
47. , а) ; б) .
Решаем соответствующее линейное однородное уравнение
, , , .
Варьируя по Лагранжу постоянную интегрирования , находим общее решение данного уравнения
, ,
, , ;
окончательно,
.
В окрестности точки (1,1) выполняются условия существования и единственности задачи Коши для данного уравнения, поэтому из общего решения, с использованием начальных данных, находим решение поставленной задачи Коши в варианте а)
, ; а) .
Действуя формально, нетрудно получить решение задачи Коши в варианте б)
, ; б) ; ,
однако, это решение не является единственным, поскольку через точку (1,0) проходит еще очевидное решение , которое является особым решением данного уравнения. Линия является с одной стороны интегральной кривой данного уравнения, а с другой – геометрическим местом точек, в каждой из которых нарушается свойство единственности (проще говоря, геометрическим местом тех точек, где бесконечна).
Решения поставленной задачи Коши в варианте б) для данного уравнения нет.
48. .
Методом Бернулли, полагая , найдем общий интеграл данного уравнения
; , , , ;
, , ;
, .
Особых решений нет. Линия , на которой нарушается свойство единственности, не является решением данного уравнения.
49. . Это нелинейное уравнение. Полагая , приводим его к классическому виду (64) уравнения Бернулли
.
Методом Лагранжа находим общий интеграл уравнения Бернулли.
, , , ;
, ,
,
(здесь применялось интегрирование по частям);
.
Возвращаясь к старым переменным, запишем общий интеграл исходного уравнения
.
50. . Данное дифференциальное уравнение является нелинейным. Элементарными преобразованиями оно приводится к уравнению Бернулли, если рассматривать переменную х кА функцию от у.
.
Будем искать общее решение этого уравнения методом Бернулли подстановкой
; , ,
, ; , ,
далее, квадратурой, с интегрированием по частям, находим
.
Зная функции u, v, после некоторых преобразований, запишем общий интеграл данного уравнения в виде
.