16. Функции нескольких переменных. Предел фмп. . Частные производные
При рассмотрении фмп ограничимся подробным описанием функций двух переменных,
Опр: Если каждой паре независимых друг от друга чисел (х, у) из некоторого множества по какому - либо правилу ставится в соответствие одно или несколько значений переменной z, то переменная z называется функцией двух переменных.
z = f(x, y)
Опр: Если паре чисел (х, у) соответствует одно значение z, то функция называется однозначной, а если более одного, то – многозначной.
Опр: Областью определения функции z называется совокупность пар (х, у), при которых функция z существует.
Опр: Окрестностью
точки М0(х0, у0) радиуса
r называется совокупность
всех точек (х, у), которые удовлетворяют
условию
.
18-20
Опр:
Число А называется пределом функции
f(x, y)
при стремлении точки М(х, у) к точке
М0(х0, у0), если для
каждого числа >
0 найдется такое число r
>0, что для любой точки М(х, у), для которых
верно условие
также верно и условие
.
Записывают:
Пусть в некоторой области задана функция
z = f(x,
y). Возьмем произвольную
точку М(х, у) и зададим приращение х
к переменной х. Тогда величина xz
= f( x + x,
y) – f(x,
y) называется частным
приращением функции по х.
Можно записать
.
Тогда
называется частной производной функции
z = f(x,
y) по х.
Обозначение:
частная производная функции по у.
Геометрическим
смыслом частной производной (допустим
)
является тангенс угла наклона касательной,
проведенной в точке N0(x0,
y0, z0)
к сечению поверхности плоскостью у =
у0.
20 Частные производные высших порядков.
Если функция f(x,
y) определена в некоторой
области D, то ее частные
производные
и
тоже будут определены в той же области
или ее части.
Будем называть эти производные частными производными первого порядка.
Производные этих функций будут частными производными второго порядка.
Продолжая дифференцировать полученные равенства, получим частные производные более высоких порядков.
Определение.
Частные производные вида
и
т.д. называются смешанными производными.
Теорема. Если
функция f(x,
y) и ее частные производные
определены и непрерывны в точке М(х, у)
и ее окрестности, то верно соотношение:
. Т.е.
частные производные высших порядков
не зависят от порядка дифференцирования.
21. Дифференцируемость фмп. Полный дифференциал. Уравнения Касательной и нормали
Определение.
Выражение
называется полным приращением функции
f(x, y)
в некоторой точке (х, у), где 1
и 2 – бесконечно
малые функции при х
0 и у
0 соответственно.
Определение: Полным дифференциалом функции z = f(x, y) называется главная линейная относительно х и у приращения функции z в точке (х, у).
Для функции произвольного числа переменных:
Теорема:
Если
диф в точке
,
то
непрерывна в этой точке.
Док-во:
-диф-ма
в т.
;
-
непрерывна в точке
Теорема
(необходимое условие диф): Если
диф в точке
,
то
Док-во:
;
;
Теорема
(достаточное условие диф): Если
имеет частные производные в некоторой
окрестности т.
,
непрерывна в самой точке
,
то она диф. В точке
.
Если
дифф. В т.
,
то главная линейная, относительно
приращения аргумента, часть его полного
приращения называется полным диффиринциалом
ф-ции
в
т.
;
;
;
