- •1. Первообразная. Неопределённый интеграл. Таблица неопределённых вариантов.
- •2. Замена переменной в неопределенном интеграле.
- •1) Внесение под знак диф-ла:
- •2) Вынесение из-под знака диф-ла:
- •3.Интегрирование по частям.
- •4. Разложение прав. Рац. Дроби в сумму простейших. Интегрирование рац. Дробей.
- •7777. Интегрирование тригонометрических функций.
- •7. Интегрирование иррац-тей.
- •8. Задачи, приводящие к понятию определения ои
- •9. Определение ои как предела инт суммы. Св ои.
- •11. Инт с перем верхним пределом Формула н-л.
- •11. Замена переменных и интег-ние по частям.
- •11. Геометрические и физические приложения о и
- •13. Нес инт с бескон пред инт-я. Н и от ннеогран ф-й
- •16. Функции нескольких переменных. Предел фмп. . Частные производные
- •20 Частные производные высших порядков.
- •21. Дифференцируемость фмп. Полный дифференциал. Уравнения Касательной и нормали
- •15. Дифференцируемость фмп. Полный дифференциал. Уравнения Касательной и нормали
- •25. Условный экстремум фнп
- •26. Основные понятия теории дифферинциальных уравнений.
- •30. Уравнения в полных дифференциалах
- •31. Линейные ду 1 порядка: однор и неоднор, метод Бернули
- •Подставляем полученное соотношение в исходное уравнение
- •33.Уравнение Бернулли.
- •35. Линейные однородные дифференциальные уравнения с произвольными коэффициентами.
- •36Лду-n: однор и неоднор Линейный диф опер-р его св-ва, св-св реш лду.
- •36 Лоду с постоянными коэффициентами: случай различных действительных корней хар-го Ур-я.
- •При этом многочлен называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения.
- •37. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами: все корни хар-го Ур-я различны, но есть комплексные
- •При этом многочлен называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения.
- •38. Структура общего решения лнду-n. Принцип суперпозиции
- •38. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Уравнения с правой частью специального вида.
- •39. Метод вариации произвольных постоянных.
- •42. Двойные интегралы. Св-ва.
- •43. Тройной интеграл: определение, свойства.
- •45. Вычисление тройных интегралов
- •44 Замена переменной в двойном интеграле.Полярная система координат площ плоской фигуры
- •45. Ти в цилинд. И координатах. Переход в тройном интеграле от декартовой к цилиндрической си-ме коорд
- •45. Ти в сферич. Координатах. Переход в тройном интеграле от декартовой к сферической си-ме коорд.
43. Тройной интеграл: определение, свойства.
Пусть задано пространств. тело D. В точках этого тела определена ф-ция U=f(x,y,z). Разобьем это тело на конечное число Di –тых (i=1,2,3,…). В каждой области Di выберем произвол. точку (xi,yi,zi) и составим интегральную n= (xi,yi,zi) * Vi Если сущ. предел и он конечный и он не зависит от способа деления обл. D на части и выбора точек (xi,yi,zi) , то этот предел называют тройным интегралом по обл.D от ф-ции f(x,y,z) lim(n= f(x,y,z)dx dy dz Следовательно m=(x,y,z)dxdydz
Св-ва тройного интеграла аналогично св-м двойного интеграла 1) Всякая интегрируемая в обл. D ф-ция ограничена в этой области.
2) Могут быть построены суммы Дарбу
верх S= Mi * Vi низ s= mi * Vi
3) Необходимо и достаточное условие сущ. интеграла
lim( S-s)=0
4) Как и в случае двойного интеграла сущ. тройной интеграл от любой непрерывной ф-ции, заданной в обл. D. Однако тройной интеграл сущ. и в случае, когда ф-ция f(x,y,z) имеет разрывы 1-го рода на конечном числе пов-тей данного тела D.
5)Тройной интеграл обладает св-вами линейности и аддетивности
Dfdx = D1fdx + D2 , где D=D1D2
6)Если сущ. тройной интеграл от ф-ции f, то сущ. интеграл по модулю
и существует равенство
fdv
Если функция fв области D ограничена какими-то числами m f М , то для тройного интеграла справидливо неравенство
mVd dvM VD
7) Имеет место теорема о среднем , т.е. если функция (x,y,z) не-прерывная в области D , то справедливо равенство
dv (X0 , Yo , Z0) (X0 , Yo , Z0)D
45. Вычисление тройных интегралов
Определение: Тройным интегралом f(M) по обл. Ω € R называется предел интегральной суммы
∑k=1nf(Mk)∆Vk = ∑k=1nf(ξk nk ζk)V(Ωk), если мелкость разбиения обл. Ω λ = max d(Ωk) стремится к 0.
Единственное отличие от ДИ заключается в том, что при нахождении тройного интеграла интегрирование ведется не по двум, а по трем переменным, а областью интегрирования является не часть плоскости, а некоторая область в техмерном пространстве.
Суммирование производится по области v, которая ограничена некоторой поверхностью (x, y, z) = 0.
Здесь х1 и х2 – постоянные величины, у1 и у2 – могут быть некоторыми функциями от х или постоянными величинами, z1 и z2 – могут быть функциями от х и у или постоянными величинами.
Пример. Вычислить интеграл
44 Замена переменной в двойном интеграле.Полярная система координат площ плоской фигуры
Расмотрим двойной интеграл вида , где переменная х изменяется в пределах от a до b, а переменная у – от 1(x) до 2(х).
Положим х = f(u, v); y = (u, v) Тогда dx = ; dy = ; т.к. при первом интегрировании переменная х принимается за постоянную, то dx = 0. , т.е. подставляя это выражение в записанное выше соотношение для dy, получаем: Выражение называется Якобианом функций f(u, v) и (u, v).
Тогда Т.к. при первом интегрировании приведенное выше выражение для dx принимает вид (при первом интегрировании v = const, dv = 0), то при изменении порядка интегрирования, получаем соотношение:
44Вычисление ДИ в полярной сист координат.,
a)
b)
c)