11. Геометрические и физические приложения о и

y y = f(x)

x_i

a b x

Определение: Длиной дуги называется предел периметра вписанной в нее ломанной, если длина максимал. ломаной стремится к 0. Если предел конечен, то дуга – спрямляемая.

Длина ломаной линии, которая соответствует дуге, может быть найдена как .

Тогда длина дуги равна .

Из геометрических соображений:

В то же время

Тогда можно показать, что Т.е.

Если уравнение кривой задано параметрически, то с учетом правил вычисления производной параметрически заданной функции, получаем , где х = (t) и у = (t).

Если задана пространственная кривая, и х = (t), у = (t) и z = Z(t), то

если кривая задана в полярных координатах, то ,  = f().

Диф-л дуги: L’(x) = dL/dx = a/√1+f ’²(x)

рис. dL = (a/√(1+f ’²(x)))*dx = √dx²+dy

dL² = dx²+dy²

13. Нес инт с бескон пред инт-я. Н и от ннеогран ф-й

Пусть функция f(x) определена и непрерывна на интервале [a, ). Тогда она непрерывна на любом отрезке [a, b].

Определение: Если существует конечный предел , то этот предел называется несобственным интегралом от функции f(x) на интервале [a, ).

Обозначение:

Если этот предел существует и конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится.

Если предел не существует или бесконечен, то несобственный интеграл расходится.

Аналогичные рассуждения можно привести для несобственных интегралов вида:

Конечно, эти утверждения справедливы, если входящие в них интегралы существуют.

Пример.

- не существует.

Несобственный интеграл расходится.

Теорема: Если для всех х (x  a) выполняется условие и интеграл сходится, то тоже сходится и  .

Теорема: Если для всех х (x  a) выполняется условие и интеграл расходится, то тоже расходится.

Теорема: Если сходится, то сходится и интеграл .

В этом случае интеграл называется абсолютно сходящимся.

13-14. Нес инт с бескон пред инт-я. Н и от ннеогран ф-й

Пусть ф-ия f(x) определена на [a;b) интегрируема на любом промежутке [a;b- ] и кроме того . Рассмотрим Если указанный предел сущ то говорят что этот предел наз несобственным Интеграл от ф-ии f(x) (несобственным интегралом второго рода) И обознач анологично если т. a особенная и На промежутке ф-ия интегрируема, то несобственный интеграл вводится так . Если особой точкой является внутренняя точка отрезка [a;b) то под несобственным интегралом понимается . Подчеркнем что в 3-ем случае стремятся к нулю независимо друг от друга. Если указанные пределы сущ то несобственные интегралы наз сходящимися а если равны бесконечности или не сущ то эти интегралы наз росходящимися в случае если f(x) неограниченная ф-ия то можно дать геометрическую интерпритацию несобсятвеных интегралов второго рода.

критерии Коши и признаки сравнения. Пусть С- внутренняя точка (особоя) для того чтобы несобственный был сходящимся необходимо и достаточно чтобы для любого существовала такая чтобы для любых четырех отрицательных чисел выполнялось . Признак сравнения:

Пусть для всех X из облости существования выполняется условие тогда и сходимости несобственного интеграла вытекает сходимость несобственного интеграла . И наоборот из расходимости несобственного интеграла следует расходимость несобственнго интеграла .

Теорема: (предельный признак сходимости): Пусть на отрезке [a;b) f(x) и (x) знакоположительные ф-ии . И сущ тогда в смысле сходимости оба интеграла и ведут себя одинаково т.е. одновременно сходятся и расходятся.