2. Приближенное решение уравнений и систем уравнений.

Если уравнение не имеет точного решения, например график функции не пересекается с осью аргументов (нет вещественных корней), можно найти значение аргумента, при котором невязка будет минимальной (для случая двух уравнений - минимальным будет расхождение между двумя кривыми). Для этого используется функция Minerr.

Обращение к функции Мinегг аналогично обращению к функции Find, только функция Find дает точное решение, а Minerr — приближенное. Функция Minerr задействует тот же вычислительный алгоритм, что и функция Find. Так же как и в случае функции Find, метод вычислений можно выбрать в контекст- ном меню. Используется функция Minerr аналогично функции Find. Если точное решение существует, то функция Minerr в вычислительном блоке Given позволяет найти его так же, как функция Find. Если точного решения нет, то функция Find указывает на ошибку, а Minerr находит минимум невязки, то есть возвращает зна- чение аргумента, соответствующее минимальному расхождению между заданным аначением у и функцией у(х).

На рисунке 4.6 показано определение координат точек пересечения прямой ли- нии с эллипсом. Точек пересечения две. Одна точка найдена на рисунке. Найдите вторую точку пересечения, взяв другое начальное приближение.

Для уравнения прямой х+у=17, которая пересекается с эллипсом, обе функций Find и Minerr дают одинаковые результаты. Для уравнения прямой х + у = 20, которая не пересекается с эллипсом, функция Find выдает ошибку, а функция Minerr выдает координаты точки эллипса, наиболее близкой к прямой линии (рис. 4.6.) Функцию Minerr удобно использовать для нахождения экстремумов функции.

При использовании функции Minerr для решения системы уравнений необходимо проверять полученные результаты. Нередко решение оказывается ошибочным, так как, когда система имеет несколько корней, Mathcad может предложить корень, не имеющий физического смысла или просто бесполезный. Желательно также как можно точнее указывать начальные приближения к решению.

3. Исследование функции на экстремум.

Поиск экстремума функции включает задачи нахождения локального и глобаль- ного экстремумов. Mathcad же с помощью встроенных функций решает только задачу нахождения локального экстремума. Для поиска глобального экстремума

Сравнение функций Find и Miner

эллипс -

прямая -

начальное приближение -

Кривые пересекаются - решение есть

Кривые не пересекаются, поэтому функция Find не может найти решение

Кривые не пересекаются, но функция Minerr находит решение в виде невязки

Рис. 4.6. Точное решение системы уравнений

необходимо вычислить все локальные экстремумы и выбрать из них наибольший (наименьший). Отметим три пути поиска экстремума.

• Для непрерывной функции можно использовать равенство нулю производной от функции (рис. 4.7.).

• Для ступенчатой функции или функции с переломами можно использовать функцию Minerr (рис. 4.8.). Для этого по графику выбирается число, заведомо боль шее (или меньшее) экстремального значения функции, и записывается в качестве ограничения в блоке Given.

• Функция Minerr возвращает значение аргумента, при котором расхождение между заданным числом и значением функции минимально.

• Для непрерывных функций удобно использовать функции Maximize и Minimize (они вводятся аналогично функции Find).

Рис. 4.7. Нахождение экстремумов функции путем приравнивания производной нулю

Ключевое слово Given обычно можно опустить (рис. 4.8.), оно необходимо лишь при наличии ограничений.

Нахождение экстремумов функции нескольких переменных аналогично исследованию функции одной переменной. На примере функции двух переменных покажем влияние ограничений на поиск экстремумов (рис. 4.8 и 4.9). Функции Minimize и Maximize способны вычислить минимум и максимум соответственно как с ограничениями, так и без них. Результаты решения в значительной степени зависят от выбранных начальных приближений и далеко не всегда соответствуют истине.

Рис. 4.8. Использование функций MINIMIZE и MAXIMIZE.

Совет. При анализе конкретного уравнения желательно внимательно изучить поверхностный график функции и график линий уровня, на котором хорошо видны области экстремумов.

Рис. 4.9. Нахождение экстремума функции двух переменных без ограничений и с ограничениями.

Все три способа определения экструмумов функции имеют свои плюсы, и минусы Творческий подход к их выбору почти всегда позволяет правильно найти экстремумы функции.

Замечание: вид решения системы во многом зависит от того какое уравнение записано первым в системе.