II. Теоретическая часть.

Данная лабораторная работа призвана ознакомить студентов с методами решения символьных вычислительных задач в среде Mathcad. Символьные вычисления.

Основой символьных вычислений в Mathcad являются формулы и правила их преобразования; заимствованные из системы символьной математики Maple 5, предназначенной для математиков высшей квалификации. Из более чем 300 символьных функций Maple 5 в Mathcad включено порядка 20, но и этого достаточно для инженерно-технических расчетов, для которых и предназначен пакет Mathcad. Как правило, большинству пользователей Mathcad для работы достаточно численных расчетов, результаты которых затем анализируются с помощью графиков. Лишь изредка возникает необходимость в символьных вычислениях. Кроме того, некоторые встроенные функции Mathcad для своего успешного применения требуют предварительных символьных вычислений.

• При нахождении корней полинома функцией polyroot символьным путем желательно найти коэффициенты полинома для ввода их в качестве параметров функции polyroot.

• При использовании функции общей регрессии genfit надо создать вектор, содержащий в символьном виде саму аппроксимирующую функцию и ее первую и вторую производные.

• При решении дифференциальных уравнений необходимо задание высшей производной в явном виде. Иногда это можно сделать, используя символьное решение уравнения относительно производной высшего порядка.

В некоторых случаях, например при вычислении интегралов по поверхности или объему (двойной или тройной интеграл), удается найти символьное решение интеграла (см. рис. 5.2), что резко ускоряет расчеты. Ведь вычисление интегралов— самая медленная операция в Mathcad.

В Mathcad есть два инструмента символьных вычислений:

• меню Symbolics (Символьные вычисления);

• панель Symbolic (Символьные вычисления), вызываемая щелчком на кнопке Symbolic Keyword Toolbar (Панель символьных вычислений) математической панели.

Использование меню Symbolics.

Меню Symbolics (Символьные вычисления) предоставляет меньше возможностей, чем панель Symbolic (Символьные вычисления). Однако использовать меню просто, а по- тому и удобно. В ряде случаев лучше обращаться к меню Symbolics, чем к панели инструментов.

После запуска на экране появляется рабочее окно Mathcad с главным меню и тремя панелями инструментов: Standard (Стандартная), Formatting (Форматирование) и Math (Математическая).

Автоматически загружается файл Untitled 1(Безымянный 1), представляющий собой рабочий документ Mathcad, называемый Worksheet (Рабочий лист) и созданный на основе шаблона Normal (Обычный). Также автоматически загружаются окна Tip of the day (Совет дня) и Resource Center (Центр документации). Перед началом работы их надо закрыть.

Панель 9 символьных вычислений содержится в Стандартной панели инструментов Mathcad. Номер 9 соответствует нумерации приведенной на рис. 1.2. лабораторной работы № 1.

Построение и вычисление символьных выражений.

Пример ис- пользования панели Symbolics приведен ниже, с наиболее простым и часто используемым методом -- применением символьного знака равенства ( —>). В качестве примера возьмем вычисление неопределенного интеграла (рис. 5.1.).

Рис. 5.1. Символьные вычисления производной, интеграла, сумм, произведений, пределов.

Ниже описан порядок проведения символьных вычислений.

1. В математической панели щелкните на кнопке Calculus Toolbar (Панель вычислений).

2. В открывшейся панели Calculus (Вычисления) выберите, щелкнув мышью, шаблон неопределенного интеграла.

3. Заполните места ввода, вписав интегрируемое выражение или имя интегрируемой функции, а также имя переменной в шаблоне дифференциала.

4. Введите символьный знак равенства ( —>). Это можно сделать с помощью любой из двух панелей, вызываемых из математической: Symbolic и Evaluation. Можно ввести этот оператор и с клавиатуры, нажав сочетание клавиш Ctrl+"." (точка). На экране появится результат символьного вычисления.

Аналогичным образом можно выполнить все операции, представленные на пане- ли Calculus, а именно вычисление производной любого заданного порядка, интеграла определенного и неопределенного, суммы или произведения ряда, предела выражения. Решите самостоятельно приведенные на рис. 5.1. примеры.

Напоминание: Mathcad воспринимает прописные и строчные буквы как разные идентификаторы.

Оптимизация численных вычислений.

В Mathcad есть возможность оптимизации решений. Если активизировать команду Math > Optimization (Математика >Оптимизация), то перед вычислением каждого выражения символьный процессор Mathcad будет пытаться упростить все выражения для ускорения и уточнения вычислений. В Mathcad есть два самостоятельных процессора: численный и символьный, которые обычно не имеют связи друг с другом. При включенном режиме оптимизации они работают совместно.

Можно включить режим оптимизации для вычисления одного конкретного разложения. Для этого щелкните правой кнопкой мыши на интересующем Вас выражении и в открывшемся контекстном меню выберите команду Optimize (Оптимизировать). Около выражения, для которого Mathcad будет искать символьное решение, появится красная звездочка (рис. 5.2).

ВНИМАНИЕ: Оптимизация возможна только для выражений, содержащих оператор присваивания (:=).

Оптимизация расчетов

нет оптимизации

Рис. 5.2. Оптимизация вычислений

Оптимизация численных вычислений.

В Mathcad есть возможность оптимизации решений. Если активизировать команду Math → Optimization (Математика → Оптимизация), то перед вычислением каждого выражения символьный процессор Mathcad будет пытаться упростить все выражения для ускорения и уточнения вычислений.

В Mathcad есть два самостоятельных процессора: численный и символьный, которые обычно не имеют связи друг с другом. При включенном режиме оптимизации они работают совместно.

Можно включить режим оптимизации для вычисления одного конкретного разложения. Для этого щелкните правой кнопкой мыши на интересующем Вас выражении и в открывшемся контекстном меню выберите команду Optimize (Оптимизировать). Около выражения, для которого Mathcad будет искать символьное решение, появится красная звездочка (рис. 5.2).

ВНИМАНИЕ: Оптимизация возможна только для выражений, содержащих оператор присваивания (:=).

В некоторых случаях, например при вычислении интегралов по поверхности или объему (двойной или тройной интеграл), удается найти символьное решение интеграла (см. рис. 5.2), что резко ускоряет расчеты. Ведь вычисление интегралов— самая медленная операция в Mathcad.

В Mathcad есть два инструмента символьных вычислений:

• меню Symbolics (Символьные вычисления);

• панель Symbolic (Символьные вычисления), вызываемая щелчком на кнопке Symbolic Keyword Toolbar (Панель символьных вычислений) математической панели.

Использование меню Symbolics.

Меню Symbolics (Символьные вычисления) предоставляет меньше возможностей, чем панель Symbolic (Символьные вычисления). Однако использовать меню просто, а по- тому и удобно. В ряде случаев лучше обращаться к меню Symbolics, чем к панели инструментов. Команды меню Symbolics показаны на рис. 5.3. Для выполнения любой из них необходимо сначала выделить объект вычислений.

Рис. 5.3. Меню Symbolics

Щелкните мышью на выражении, чтобы произвести символьную операцию над всем выражением. Чтобы произвести символьную операцию над частью выражения, выделите эту часть черным цветом, то есть подведите указатель мыши к началу нужной части выражения, нажмите левую кнопку мыши и переместите указатель мыши до конца этой части при нажатой левой кнопке мыши. Щелкните мышью на переменной, относительно которой надо произвести символьную операцию.

ПРИМЕЧАНИЕ: Выделение черным цветом используется в Mathcad, когда какие-либо действия нужно выполнить над частью выражения: вырезать в буфер обмена, скопировать, удалить, изменить шрифт или размер шрифта и т. д.

Выполняя символьные операции, следует помнить, что не всякое выражение под- дается символьным преобразованиям, а потому не всякая задача имеет символьное решение (в отличие от численного).

Рассмотрим последнюю команду меню символьных операций Symbolics - команду Evaluation Style (Стиль вычислений). При выборе этой команды открывается диалоговое окно (рис. 5.4), которое позволяет выбрать стиль выводимого сим- вольного решения: горизонтально — рядом с исходным выражением, вертикаль- но — под ним, с комментариями и без них (на представленных далее рисунках выбрано горизонтальное расположение ответов).

ВНИМАНИЕ: Перед выполнением символьных операций убедитесь, что активизирована (помечена флажком) команда Automatic Calculation (Автоматический режим вычислений) в меню Math (Математика).

Рис. 5.4. Окно выбора стиля вывода символьного результата

Символьная оценка.

Для выполнения символьной оценки выделите выражение или его часть, раскрой- те меню Symbolics (Символьные вычисления) подменю Evaluate (Оценить) и выберите команду Symbolically(Символически), либо Floating Point (С плавающей точкой) или Complex (В комплексной форме).

Символьный процессор по-разному обрабатывает числа с десятичной точкой и без нее:

• Если символьный процессор получает числа, содержащие десятичную точку, то любые возвращаемые численные результаты будут десятичными приближениями точного решения.

• Если символьный процессор получает числа без десятичных точек, то возвращаемые численные результаты, когда это, возможно, будут без десятичных точек.

• Если символьная операция дает ответ в виде десятичной дроби, то этот ответ всегда отображается с 20 значащими цифрами. На отображение не действуют ни локальный, ни глобальный числовые форматы.

Примеры использования команды Evaluate приведены на рисунке 5.5.

Рис. 5.5. Примеры оценки выражений с применением команды Evaluate.

Упрощение выражений.

Команда Simplify (Упростить) служит для основных алгебраических и тригонометрических упрощений выбранного выражения. Она выполняет арифметические преобразования, сокращает общие множители, использует основные тождества для тригонометрических и обратных функций, уменьшает степени. Можно упрощать как все выражение целиком, так и его части. Если преобразование всего выражения не дает желаемого результата, попытайтесь выделить и упростить часть выражения. Примеры использования команды Simplify приведены на рис. 5.6.

Рис. 5.6. Упрощение выражений.

Разложение выражений.

Операция символьного разложения по смыслу противоположна операции упрощения. В ходе разложения раскрываются все суммы и произведения, а сложные тригонометрические выражения разлагаются с помощью тригонометрических тождеств. Если выражение — дробь, раскладывается числитель, и выражение представляется -

как сумма дробей. Примеры использования команды Expand (Разложить) приведены на рис. 5.7.

Рис. 5.7. Разложение выражений.

Разложение на множители.

Команда Factor (Разложить на множители) позволяет представить полиномы как произведения более простых полиномов, а целые числа как простые сомножители. Команда объединяет сумму дробей в одну дробь и упрощает «многоэтажную» дробь с несколькими дробными чертами. Примеры использования команды приведены на рис. 5.8.

Рис. 5.8. Примеры разложения выражений на множители

ВНИМАНИЕ: Mathcad разлагает на множители только то, что выделено.

Приведение подобных слагаемых.

Команда Collect (Привести подобные слагаемые) объединяет члены, содержащие одинаковые степени выделенной переменной. Примеры использования команды Collect приведены на рис, 5.9.

Рис. 5.9. Примеры приведения подобных слагаемых

Коэффициенты полинома.

Многие выражения или части выражения представляются в виде полиномов от выделенной переменной; коэффициенты полинома могут быть найдены символьным процессором, причем коэффициенты могут быть сложными функциями других переменных. Примеры использования команды Polynomial Coefficients (Коэффициенты полинома) приведены на рис. 5.10.

Рис. 5.10. Примеры нахождения коэффициентов полинома