- •Детали машин и основы конструирования
- •Механические передачи
- •Основные характеристики передач
- •Фрикционные передачи и вариаторы
- •Основы прочностного расчета фрикционных пар
- •Зубчатые передачи
- •Коэффициент торцового перекрытия έα
- •Эмпирическая формула для расчета коэффициента торцового перекрытия цилиндрической прямозубой передачи внешнего зацепления
- •Расчетная нагрузка
- •Коэффициент концентрации нагрузки kβ
- •Коэффициент динамической нагрузки kν
- •Расчет прочности зубьев по контактным напряжениям
- •Силы, действующие на зуб колеса
- •Удельная нагрузка
- •Расчет прочности зубьев косозубой передачи по контактным напряжениям
- •Расчет прочности зубьев косозубых передач по напряжениям изгиба
- •Материалы и термообработка
- •Допускаемые напряжения материалов зубчатых колес
- •Допускаемые контактные напряжения [σH] при расчете зубчатых колес на усталость
- •Допускаемое напряжение изгиба при расчете на усталость
- •Последовательность расчета косозубой цилиндрической передачи по контактным напряжениям
- •Конические зубчатые передачи
- •Силы в зацеплении прямозубой конической передаче
- •Приведение прямозубого конического колеса к эквивалентному прямозубому цилиндрическому
- •Р асчет зубьев прямозубой конической передачи по напряжениям изгиба
- •Расчет зубьев прямозубой конической передачи по контактным напряжениям
- •Конические передачи с непрямыми зубьями
- •Червячные передачи
- •Основные геометрические параметры
- •Силы в зацеплении
- •Расчет на прочность червячных передач
- •Расчет на прочность по контактным напряжениям
- •Р еменные передачи
- •Критерии работоспособности
- •Силовые зависимости
- •Допускаемые полезные напряжения в ремне
- •Клиноременная передача
- •Межосевое расстояние и длина цепи
- •Практический расчет цепной передачи
- •Передача винт-гайка
- •Передача винт-гайка качения
- •Подшипники
- •Расчет на долговечность
- •Условия подбора
- •Эквивалентная динамическая нагрузка
- •Проверка и подбор подшипников по статической грузоподъемности (с0)
- •Подшипники скольжения
- •Классификация муфт
- •Муфты глухие
- •Муфты компенсирующие
- •Муфты компенсирующие упругие
- •Муфты управляемые или сцепные
- •Муфты фрикционные
- •Муфты автоматические, или самоуправляемые
- •Соединения
- •Соединение сегментной шпонкой
- •Общие замечания по расчету призматических шпоночных соединений
- •Резьбовые соединения
- •Расчет на прочность стержня винта (болта) при различных случаях нагружения
- •Заклепочные соединения
- •Сварные соединения
Расчет прочности зубьев по контактным напряжениям
Исследованиями установлено, что наименьшей контактной прочностью на усталость обладает околополюсная зона поверхности зубьев. Поэтому расчет контактных напряжений принято выполнять для контакта в полюсе зацепления.
Рисунок к выводу формулы контактных напряжений для прямозубой цилиндрической передачи.
Контакт зубьев рассматривается как контакт двух цилиндров с радиусами ρ1 и ρ2. При этом контактные напряжения определяются по формуле Герца, которую ранее применяли для расчета фрикционной передачи.
Сделаны допущения:
-
Хотя поверхность зуба не является поверхностью кругового цилиндра, но, как и там, здесь контактные напряжения распространяются на очень малый объем и практически зависят только от радиуса кривизны в точке контакта.
-
Формула Герца получена в предположении, что сила, сжимающая цилиндры, направлена по нормали к площадке контакта. В зубчатом зацеплении это соблюдается не полностью, т.к. присутствуют силы трения. Обстоятельство учитывается при выборе коэффициентов запаса.
Чтобы воспользоваться формулой Герца в виде
,
необходимо определить радиусы кривизны ρ1 и ρ2 эвольвент зубьев в точке контакта. Согласно рисунку (см. выше), они равны:
и .
Отсюда приведенный радиус кривизны:
где ( +) для наружного зацепления; ( _) для внутреннего зацепления.
Подставляя в формулу Герца значения ρпр, значения удельной нагрузки q, c учетом формул для сил в зацеплении и, заменяя ,
получаем:
.
Это условие прочности по контактным напряжениям. Параметр u=z2/z1 – отношение большего числа зубьев к меньшему числу. Отличается от передаточного отношения i , которое равно отношению угловых скоростей ведущего колеса к ведомому.
Значения расчетных контактных напряжений одинаковы для шестерни и колеса. Поэтому расчет выполняют для того из пары колес, у которого меньше допускаемое напряжение . Формула условия прочности используется для поверочного расчета, когда известны все необходимые размеры и другие параметры передачи.
При проектном расчете необходимо определить размеры передачи по заданным основным характеристикам: крутящему моменту Т1 или Т2 и передаточному числу u. С этой целью формулу условия прочности (формула Герца-Беляева) решают относительно диаметра d1 или межосевого расстояния «a»,при этом, другие неизвестные параметры оценивают приближенно или выбирают по рекомендациям на основе опыта:
угол αw; KHv=1,15; ;
где ψbа= – коэффициент ширины шестерни относительно межосевого расстояния. Подставляя в формулу условия прочности и решая относительно d1, находим:
(мм)
где T1 – имеет размерность Нм, Епр и [σH] – в МПа.
Решая относительно межосевого расстояния, получают выражение:
(мм)
При расчете передач с цилиндрическими зубчатыми колесами чаще используют формулу для « а », т.к. габариты передачи определяет преимущественно межосевое расстояние. По тем же соображениям в формуле для « а » момент Т1 заменен на момент Т2. Значение момента Т2 на ведомом валу является одной из основных характеристик передачи, интересующих потребителя.
Примечание: Величина контактных напряжений от модуля и числа зубьев не зависит. Зависит лишь от диаметров начальных окружностей и ширины зубчатого венца колеса «b ». Поэтому можно как угодно уменьшать модуль m (с одновременным увеличением числа зубьев), не изменяя контактных напряжений.
Уменьшение модуля целесообразно, т.к. при этом:
-
Уменьшаются потери на трение.
-
Уменьшается трудоемкость нарезки зубьев.
-
Повышается плавность вращения.
Анализ формулы показывает, что с увеличением допускаемого контактного напряжения в 1,5 раза уменьшение «а» составит 25%, а снижение массы примерно в 2 раза.
Выбор модуля и числа зубьев в закрытых передачах
Из расчета на контактную прочность определены размеры «aw» и «bw». Задавшись приемлемой величиной коэффициента ψm (из таблиц), находят «m», т.е.
,
где ψm – коэффициент ширины зубчатого венца относительно модуля.
Значение «m» согласуют со стандартом. Для силовых передач рекомендуется применять m мм.
Далее, для передач без смещения, определяется суммарное число зубьев по формуле:
– (целое без округления число).
И, далее:
.
При нарезании зубьев без смещения можно изготовить колесо лишь с z1min. Вводя положительное смещение инструмента, исключают подрезание зубьев и получают z1min = 12 и даже менее.
На практике минимальное число зубьев шестерни назначают не только из технологических, но и кинематических соображений (плавность, бесшумность и др.). Для уменьшения шума в быстроходных передачах рекомендуют брать z1
Для окончательного утверждения выбранного значения модуля необходимо проверить прочность по напряжениям изгиба .
ЛЕКЦИЯ № 7 Расчет зубьев по напряжениям изгиба
Зуб имеет сложное напряженное состояние. Наибольшие напряжения изгиба образуются у корня зуба в зоне перехода эвольвенты в галтель. Здесь же наблюдается концентрация напряжений.
Рассмотрим приближенный метод как наиболее распространенный на практике. Неточности такого расчета принято компенсировать введением поправочных коэффициентов.
Допущения:
-
Вся нагрузка зацепления передается одной парой зубьев и приложена к вершине зуба. Практика подтверждает, что этот худший случай справедлив для 7-й, 8-й и более низких степеней точности (всего 12 степеней точности). Для более точных передач (6-й и выше) вводятся поправки.
-
Зуб рассматривается как консольная балка, для которой справедлива гипотеза плоских сечений (или методы сопротивления материалов).
Силу Fn переносим по линии действия на ось симметрии зуба и раскладываем на составляющие Ft и F'r. При этом радиус приложения окружной силы Ft будет несколько больше радиуса начальной окружности. Пренебрегая этой разницей, для расчета сил сохраняем формулы, полученные ранее, т.е.
;
Напряжение в опасном сечении, расположенном вблизи хорды основной окружности, равны:
.
где W =– момент сопротивления изгибу; A =– площадь сечения.
Знак «–» в формуле указывает, что за расчетные напряжения принимают напряжения на растянутой стороне зуба, т.к. в большинстве случаев практики именно здесь возникают трещины усталостного разрушения.
Вместо абсолютных значений размеров l и s применяют приведенные безразмерные величины:
где m – модуль зубьев.
После их подстановки и введения расчетных коэффициентов имеем:
где – теоретический коэффициент концентрации напряжений; – коэффициент расчетной нагрузки.
Обозначим:
где YF – коэффициент формы зуба, безразмерная величина, зависит от числа зубьев и коэффициента смещения инструмента x (определяется по графикам).
Для проверочных расчетов прямозубых цилиндрических передач расчетную формулу изгибных напряжений записывают в следующем виде:
где - допускаемое напряжение изгиба,
KF = kFβ kFν.
Анализ формулы показывает, что уменьшение модуля «m» и ширины зуба bw способствует увеличению изгибных напряжений.
Расчет косозубых и шевронных цилиндрических передач
У косозубых колес зубья образуют с образующей делительного цилиндра некоторый угол β. Профиль косого зуба в нормальном сечении n-n совпадает с профилем прямого зуба. Модуль в этом сечении должен быть также стандартным. В торцовом сечении t-t параметры косого зуба изменяются в зависимости от угла β. Модуль в торцовом сечении называется окружным.
.
Окружной шаг:
.
Делительный диаметр:
.
Прочность зуба определяют его размеры и форма в нормальном сечении. Форму косого зуба в нормальном сечении принято определять через параметры эквивалентного прямозубого колеса.
Нормальное к зубу сечение образует эллипс с полуосями «с» и е»,
где c = r = d/2 и e= r/cosβ c – малая полуось эллипса.
Радиус кривизны эллипса на малой оси равен: rv= e2/ c= r/cos2β>d/2.
Делительный диаметр эквивалентного колеса будет равен: d v= d/cos2β.
Число зубьев эквивалентного прямозубого колеса: zv=dv/mn=d/mn cos2β=mt z/mt cos3β, или zv = z/cos3β.
Увеличение эквивалентных параметров (dv и zv) с увеличением угла β является одной из причин повышения прочности косозубых передач. При этой же нагрузке уменьшаются габариты передачи. Коэффициент формы зуба YF выбирается по zv.