Примеры.
№1
Найдите наибольший общий делитель всех чисел вида p2-1, где p - простое число, большее 3, но меньшее 2010.
Решение.
Так как p - простое число, большее 3, значит p- нечетное число. Следовательно, p-1 и p+1 – четные числа. Одно из двух последовательных четных чисел всегда делится на 4.
Также P не делится на 3. А так как одно из трех подряд идущих натуральных чисел всегда делится на 3, значит или p-1, или p+1 делится на 3 .
Следовательно, произведение p-1 и p+1 точно будет делиться на 2*4*3=24.
Наибольший общий делитель не может быть больше наименьшего из чисел. Самое маленькое число – это 24 (при p=5).
Значит, 24- наибольший общий делитель всех чисел вида p2-1, где p - простое число, большее 3, но меньшее 2010.
Ответ: 24.
№2
Найдите все натуральные числа, которые делятся на 42 и имеют ровно 42 различных натуральных делителя (включая единицу и само число).
Решение. Искомое число - n.
Его каноническое разложение
...
,
где
простые
числа. Поскольку n делится на 42=2⋅3⋅7,
следовательно, в его разложении минимум
3 различных простых числа (2, 3 и
7), т.е. k≥3. Количество делителей
числа n находится по
формуле:
.
Получаем
,
при всех
,
следовательно, каждая из скобок
.
Слева у нас произведение
натуральных чисел, справа 42=2⋅3⋅7
– произведение ровно 3 чисел. Очевидно
что
,
а
.
.
Итак
,
где
Ответ: Все возможные варианты n:
;
;
;
;
;
.
Номера для самостоятельного решения.
№1
Сколько натуральных делителей имеет число 3072?
№2
Найдите все натуральные
при которых число
делится нацело на 169.
№3
Найдите наибольший общий делитель всех чисел вида p2-1, где p - простое число, большее 3, но меньшее 2010.
№4
Найти двузначное число, если известно, что при делении этого числа на сумму его цифр в частном получается 4 и в остатке 3; если же из искомого числа вычесть удвоенную сумму его цифр, то получится 25.
№5
Разделить целое число:
а)
на
;
б)
на
с остатком.
№6
Найти последнюю цифру числа
.
№7
Известно, что
делится без остатка на 15, а 1001 делится
без остатка на
.
Найти
.
№8
Доказать, что
делится на 6.
Ответы и решения.
№1
Представим число
в виде
.
Из этого очевидно следует, что множителей
будет 22
Ответ: 22
№2
Т.к.
Но это невозможно, так как корни иррациональные
Ответ: нет решений
№3
Так как p - простое число, большее 3, значит p- нечетное число. Следовательно, p-1 и p+1 – четные числа. Одно из двух последовательных четных чисел всегда делится на 4.
Также P не делится на 3. А так как одно из трех подряд идущих натуральных чисел всегда делится на 3, значит или p-1, или p+1 делится на 3 .
Следовательно, произведение p-1 и p+1 точно будет делиться на 2*4*3=24.
Наибольший общий делитель не может быть больше наименьшего из чисел. Самое маленькое число – это 24 (при p=5).
Значит, 24- наибольший общий делитель всех чисел вида p2-1, где p - простое число, большее 3, но меньшее 2010.
Ответ: 24.
№4
Ответ:
№5
а)
б)
№6
Числа, оканчивающиеся девяткой, при
возведении в нечетную степень, оканчивается
на 9, а при возведении в четную на 1.
Следовательно, число
оканчивается на 9.
Ответ: на 9.
№7
Указание: Разложить 1001 на простые
множители и рассмотреть все значения
Ответ:
№8
Распишем формулу суммы геометрической
прогрессии
Так как в левой части неравенства
натуральное число, то
