Тема 3. “Преобразование уравнений”
В этой теме необходимо уметь делать простейшие математические преобразования.
Тема достаточно простая, но требует внимания.
Необходимая теория.
Терема Виета
Если
—
корни многочлена
(каждый корень взят соответствующее его кратности число раз), то коэффициенты выражаются в виде симметрических многочленов от корней, а именно:
Основные преобразования
В математике пифагоровой тройкой
называется кортеж из трёх натуральных
чисел
удовлетворяющих
соотношению Пифагора:
Примеры.
№1
Найдите все такие целые
и , что корни уравнения
являются различными целыми числами, а
коэффициенты
и
- простыми числами.
Решение. Пусть
и
– корни данного уравнения. Тогда, по
теореме Виета:
Так как
- простое, то данная ситуация возможна
или при
,
или при .
Рассмотрим случай, когда :
делится на 3. Но
- простое, значит это число делится на
3, а из всех простых чисел, которые делятся
на 3, есть 3
– а это число делится на 4, значит оно
не простое, то есть здесь решений нет.
Осталось рассмотреть случай, когда :
-
Аналогично рассуждая, как и в первом случае, получаем
Осталось проверить, что
- простое число:
-
простое.
Ответ: и .
№2
Решите в целых числах уравнение:
Решение. Данное уравнение сводится к такому:
.
Видим, что данное уравнение представляет
собой пифагоровы тройки, то есть или
(1)
или
(2)
.
Видим, что в (1) решений нет, так как из
2-го и 3-го равенств получаем, что
.
Теперь разберем (2):
Вычитая из 3-го равенство 2-е, получаем:
,
но из первого равенства видим, что
;
но тогда
,
а это возможно только в двух случаях:
q=0 или q=1.
При q=0 получаем, что
при
q=1 получаем, что
,
но тогда
-не
целое
Ответ:
Номера для самостоятельного решения.
№1
Решить в целых числах
№2
Квадратный трехчлен
имеет два различных целых корня. Один
из корней трехчлена и его значение в
точке
являются простыми числами. Найдите
корни трехчлена.
№3
Известно что
-
натуральное число. Доказать, что
-
так же натуральное число.
№4
Решить уравнение в целых числах
№5
Решите уравнение
в целых числах
№6
Решить в целых числах систему уравнений
№7
Решите уравнение
в целых числах
№8
Найдите все пары натуральных чисел
разной четности, удовлетворяющие
уравнению
№9
Решить уравнение
в целых числах
Ответы и решения.
№1
m∙(n-1)(n+1)= 105∙n. Очевидно первое решение n=m=0 и если n и m – решения, то -n и -m – тоже решения.
Если n≠0, то n≠±1 и m≠0. Так как n, (n-1) и (n+1) не делятся на n, то m кратно n, т.е. m = p∙n. Отсюда, p∙(n-1)∙(n+1)= 105 = 25∙55. Числа (n-1) и (n+1) не могут быть нечетными, значит n=2k+1, отсюда p∙k∙(k+1)= 23∙55. Числа k и (k +1) взаимно простые, отсюда следующие решения: k=1, p=12500 и n=3, m=37500 , n=-3, m=-37500, кроме этого случая k и (k+1) могут иметь множители 2 и 5 и так как они разной четности, то, например, k=2j и 2j +1 =5l, причем j<4. Значит j=2, k=4, p=2500 и n=9, m=112500, n=-9, m= -112500.
Ответ:
и
№2
,
где - простое число. Пусть и
- корни, где - тоже простое число. Тогда
по теореме Виета:
Получим, что
.
Но, так как
-
простое число, то либо
,
либо
.
Если , то или , что противоречит простоте
числа
.
Значит
или
При :
.
Если
,
то
,
что противоречит простоте числа
.
Следовательно,
.
При
:
. Если
,
то
,
что противоречит простоте числа .
Следовательно,
, но 9 – не простое число.
Ответ:
и
.
№3
№4
Ответ:
№5
Вынесем общий множитель за скобку
Рассмотрим все возможные ситуации
Ответ:
№6
Вычтем из первого уравнения второе
Ответ:
№7
Ответ:
№8
Указание: Представить уравнение в
виде
,
где
-нечетно,
а
-четно.
Рассмотреть все варианты с
и
Ответ:
№9
Указание: Представим как разность
кубов
и рассмотрим все возможные варианты.
Ответ:
