Тема 4. “Факториалы ”
Тема не так уж часто встречающаяся в ЕГЭ, но тоже заслуживает рассмотрения.
Необходимая теория.
Факториал числа n — произведение всех натуральных чисел до n включительно:
.
По определению полагают 0! = 1. Факториал определён только для целых неотрицательных чисел.
Примеры.
№1
Найдите все тройки натуральных чисел
и
,
удовлетворяющие уравнению
Решение: Очевидно, что
и
Предположим, что
Разделим все на
Отсюда очевидно, что
,
то же самое справедливо для
.
Далее перебором получаем все возможные результаты.
Ответ:
№2
Найдите все натуральные значения
,
для которых выполняется равенство
Решение: Представим уравнение в
виде
Разделим обе части на
и получим
Понятно, что
очень мало. Переберем значения начиная
с
.
Отсюда видно, что верное решение только
при
.
Ответ:
Номера для самостоятельного решения.
№1
Решите в натуральных числах уравнение
№2
Уравнение
решите в целых числах
№3
Найти наибольшее натуральное число
,
для которого число
делится на
=1,2,…,
Ответы и решения.
№1
Ответ:
№2
Ответ:
№3
Указание: Рассмотреть случаи при
и при
Ответ: 46
Тема 5. “Прогрессии ”
Тоже небольшая и редкая тема, но нужно уметь ее решать.
Необходимая теория.
Арифметическая прогрессия — числовая последовательность вида
,
то есть последовательность чисел (членов
прогрессии), каждое из которых, начиная
со второго, получается из предыдущего
добавлением к нему постоянного числа
d (шага или разности прогрессии):
Любой член прогрессии может быть вычислен
по формуле общего члена:
Шаг прогрессии может быть вычислен по
формуле:
,
если
Если шаг d > 0, прогрессия является возрастающей; если d < 0, — убывающей.
Сумма n последовательных членов арифметической прогрессии начиная с члена k:
Любой член арифметической прогрессии,
начиная со второго, является средним
арифметическим предыдущего и следующего
члена прогрессии:
Геометрическая прогрессия —
последовательность чисел
(членов прогрессии), в которой каждое
последующее число, начиная со второго,
получается из предыдущего умножением
его на определённое число (знаменатель
прогрессии), где
:
Любой член геометрической прогрессии
может быть вычислен по формуле:
Если b1 > 0 и q > 1, прогрессия является возрастающей последовательностью, если 0 < q < 1, — убывающей последовательностью, а при q < 0 — знакопеременной
Своё название прогрессия получила по
своему характеристическому свойству:
то есть каждый член равен среднему
геометрическому его соседей.
Сумма n первых членов геометрической
прогрессии:
Примеры.
№1
В арифметической прогрессии четвертый
член равен 1. При каком значение
произведение второго и седьмого члена
будет наибольшим?
Решение:
Посчитаем производную и найдем максимум
Ответ:
№2
Могут ли числа 2,3 и 17 быть членами (не обязательно последовательными) одной геометрической прогрессии?
Решение: Все 3 числа простые, следовательно, такой геометрической прогрессии не существует.
Ответ: нет