Федеральное государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Факультет математики, механики и компьютерных наук

В.Б. Дыбин

Алгебра

Лекции и практика

Методическое пособие первокурснику

Часть 1

Модуль 3

Определители

2008 г.

Гл. 3. Определители

Мы приступаем к изучению одного из самых трудных понятий, связанных с матрицами, понятия определителя. Каждой квадратной действительной матрице можно поставить в соответствие действительное число, которое по специальной формуле выражается через элементы этой матрицы и называется её определителем. Определители появляются в процессе построения формул для решения определённых СЛАУ с квадратными матрицами и имеют большое значение для линейной алгебры. В связи с этим отметим только, что в терминах определителей в первой части курса будет получена формула обратной матрицы, а позже – изучены наиболее глубокие, так называемые спектральные свойства, квадратных матриц. Вместе с тем, определители давно уже стали общематематическим, а более точно общенаучным инструментом, так как без них немыслимы многие разделы не только математики, но и физики, экономики и др. В частности, позже мы увидим, как с помощью определителей, получаются формулы для площадей фигур и объёмов тел.

Содержание ближайших лекций распадается на 3 части. Вначале необходимо провести некоторую подготовку для того, чтобы дать определение определителя произвольного порядка. Для этого мы изучим простейшие свойства отображений множеств и так называемых перестановок -той степени. Поскольку формула определителя -ого порядка достаточно сложна и вычисления по этой формуле слишком громоздки, а поэтому нецелесообразны в общем случае, основную часть времени мы потратим на изучение свойств определителя и построение эффективного алгоритма их вычисления. В последнем случае вновь большую роль будут играть приёмы, связанные с методом Гаусса, что ещё раз подчеркивает глубокую связь между теорией определителей и теорией СЛАУ. Наконец, после этого будут рассмотрены первые приложения определителей в алгебре матриц и теории СЛАУ, в частности, будет получена формула обратной матрицы.

Лекция VIII.

План

3.1 Появление определителей в теории СЛАУ.

3.2* Отображения.

3.3 Перестановки -той степени.

3.4 Четные и нечетные перестановки.

3.5 Суммирование по множеству.

3.1 Появление определителей в теории слау

Рассмотрим систему двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными:

(3.1)

и применим к ней метод исключения неизвестных в общем виде, налагая при необходимости соответствующие ограничения на её коэффициенты.

Умножим первое уравнение на и вычтем из него второе уравнение, умноженное на . Получим, что

.

Полагая , имеем

. (3.2)

Теперь умножим второе уравнение на и вычтем из него первое уравнение, умноженное на . Получим, что

,

то есть

. (3.3)

Выражение

называется определителем матрицы

и обозначается специальным символом

. (3.4)

Определитель вида (3.4) называют также определителем второго порядка. Заметим, что выражения, стоящие в числителях формул (3.2) и (3.3), также являются определителями второго порядка,

, .

Это позволяет переписать формулы (3.2) и (3.3) в виде

_{, . (3.5)}

Формулы (3.5) называются формулами Крамера. Напомним, что они получены нами в предложении, что .

Вместо системы (3.1) можно рассмотреть систему третьего порядка и, проводя исключение двух неизвестных в каждом из трёх уравнений, получить формулы Крамера и для этого случая. В этих формулах уже будут участвовать определители третьего порядка (см. [3], Гл.I, §4). Позже, построив теорию определителей произвольного порядка, мы выведем формулы Крамера для системы уравнений с неизвестными.