3.7 Свойства определителя

Каждое слагаемое в сумме (3.18) имеет вид

(3.21)

и называется членом определителя -го порядка. Член определителя является произведением элементов, взятых точно по одному из каждой строки и каждого столбца определителя, и числа . Действительно, присутствие в произведении (3.21) по одному элементу из каждой строки является очевидным. Кроме того, из определения перестановки -ой степени ясно, что , и следовательно, в произведении (3.21) присутствует точно по одному элементу из каждого столбца определителя. Верно и обратное, любое произведение из элементов определителя ,

, (3.22)

взятых точно по одному из каждой его строки и каждого столбца, входит в сумму (3.18) либо со своим, либо с противоположным знаком. Перестановка , порождающая соответствующий член определителя, имеет вид

. (3.23)

Если – четная перестановка, то произведение (3.22) входит в сумму (3.18) со своим знаком, а если – нечетная перестановка, то – с противоположным знаком. В связи с этим основному определению предыдущего пункта можно придать другую эквивалентную ему форму: определителем матрицы , , называется сумма всевозможных произведений (число этих произведений равно ) по элементов этой матрицы, взятых по одному из каждой её строки и каждого её столбца, причем каждое произведение входит в указанную сумму со своим знаком, если порождаемая нумерацией его элементов перестановка (3.23) четная, и – с противоположным знаком, если эта перестановка нечетная.

Рассмотрим основные свойства определителя. Всюду ниже будем предполагать, не подчеркивая этого всякий раз, что матрица .

Предложение 3.6 .

◄ Первое доказательство. Введем обозначение Ясно, что , . По определению

. (3.24)

Покажем, что эта сумма совпадает с суммой (3.18). Действительно, каждое произведение

(3.25)

является членом определителя , так как содержит точно по одному элементу из каждого столбца и каждой его строки ( – перестановка -ой степени). Именно,

,

где

.

Одновременно, , так как разложив перестановку в произведение транспозиций произвольным образом

,

замечаем, что

,

т.е. перестановки и одновременно четные или нечетные. Поскольку различные слагаемые суммы (3.24) совпадают с различными членами определителя , ясно, что

Второе доказательство. Сумму (3.24) запишем в виде

и в соответствии с принципом замены переменного индекса проведем две замены: вначале в произведении, а потом в сумме. Зафиксируем перестановку . Так как является перестановкой элементов множества и , то в соответствии с пунктом 3.5 замена приводит к равенству

,

т.е.

(3.26)

Отображение является перестановкой элементов множества , так как оно обратимо,

.

Проводя в сумме (3.26) замену и учитывая, что , получаем, что

. ►

Из только что доказанного свойства следует, что строки и столбцы определителя равноправны в том смысле, что любое свойство его строк верно также и для его столбцов и наоборот, любое свойство столбцов определителя выполняется также для его строк. С учетом этого замечания последующие свойства определителя будем формулировать, в основном, в терминах его строк.

Предложение 3.7. Если матрица получена из матрицы элементарным преобразованием , тогда .

Иными словами, при перемене местами двух строк определителя он меняет знак на противоположный.

◄ В матрице

, т.е.

Поэтому, считая для определенности , получаем, что

. (3.27)

Рассмотрим следующую перестановку f элементов множества ,, где t –транспозиция. Действительно, отображение обладает свойством и поэтому обратимо, . Вводя обозначение , замечаем, что

и , так как перестановки и имеют различную четность. Учитывая это и проводя замену переменной в сумме (3.27), получаем, что

. ►

В качестве иллюстрации замечания о равноправии строк и столбцов определителя покажем, что при перемене местами двух столбцов определитель меняет знак на противоположный.

◄ Пусть матрица получена из матрицы элементарным преобразованием . Тогда матрица получается из матрицы элементарным преобразованием , и по доказанному . Откуда, используя предложение 3.6, получаем, что

.►

Предложение 3.8. Если матрица получена из матрицы элементарным преобразованием , тогда .

◄ В матрице

Поэтому

. ►

В качестве следствия этого свойства получаем, что

.

Из предложения 3.8 вытекает также следующее правило выноса числового множителя за знак определителя,

,

где получается из матрицы делением всех элементов какой-нибудь её строки или какого-нибудь её столбца на . Например,

.

Здесь проведен вынос числа 2 за знак определителя из второй строки.

Предложение 3.9. Если матрица содержит нулевую строку, её определитель равен нулю.

Предложение 3.10. Если матрица содержит две пропорциональные строки, её определитель равен нулю.

◄ Пусть . Можно считать, что , так как случай содержится в предложении 3.9. Если , т.е. , в матрице проводим элементарное преобразование . При этом в силу предложения 3.7 определитель меняет знак. В то же время матрица , а с нею и не изменились, т.е.

.

Если , в матрице проводим элементарное преобразование . После этого получаем матрицу с равными строками, . В силу предложения 3.8 с учетом предыдущего случая

. ►

Предложение 3.11. Если строка матрицы представима в виде суммы двух векторов-строк порядка , , её определитель , где матрица получается из матрицы заменой , а матрица – заменой .

◄ Пусть

.

Тогда

. ►

Предложение 3.12. Если матрица получена из матрицы с помощью элементарного преобразования , , тогда .

◄ В матрице

Выделяя в определителе строки и , учитывая при этом, что остальные строки совпадают с соответствующими строками определителя , в силу предложения 3.11 имеем

,

так как второй определитель имеет пропорциональные строки и, следовательно, равен нулю. ►

Предложение 3.13 Определитель матрицы верхнетреугольного или нижнетреугольного вида равен произведению его диагональных элементов.

◄ Пусть, например,

.

Очевидно, что все члены этого определителя, не содержащие в качестве элемента первой строки, равны нулю. Из второй строки к этому элементу можно добавить лишь , так как брать нельзя, поскольку первый столбец уже занят, а все остальные элементы второй строки равны нулю. Продолжая аналогичные рассуждения для последующих строк, получаем, что единственно возможным ненулевым членом определителя остается произведение, порождаемее перестановкой , т.е.

. ►

Предложение 3.14. Любую матрицу можно привести к верхнетреугольному или нижнетреугольному виду только строчными (только столбцовыми) элементарными преобразованиями, не меняя её определителя.

◄ Рассмотрим случай верхнетреугольной матрицы и строчных элементарных преобразований. Если , тогда первый столбец матрицы уже имеет нужный вид, и можно переходить ко второму столбцу. Если , но , существует ненулевой элемент . Совершая вспомогательное преобразование , добиваемся выполнения условия .

Пусть . В матрице проводим следующую цепочку элементарных преобразований,

.

В силу предложения 3.12 получаем, что

.

Если все элементы второго столбца последнего определителя, начиная со второго, равны нулю, переходим к его третьему столбцу. В противном случае, строчными элементарными преобразованиями, не меняя определителя, добиваемся выполнения условия . Проводя цепочку элементарных преобразований

,

приходим к определителю

.

Ясно, что продолжая этот процесс, на -ом шаге мы получим матрицу верхнетреугольного вида, определитель которой равен определителю ,

.

Для того, чтобы матрицу строчными элементарными преобразованиями привести к нижнее треугольному виду, не меняя её определителя, нужно с помощью элемента получить нули в последнем столбце и т.д. Случай столбцовых преобразований рассматривается аналогично. ►

Лекция XI.

План

3.8 . Теорема Лапласа.

3.9. Разложение определителя по элементам строки или столбца.