Упражнения

1. Какие из приведенных ниже таблиц являются перестановками?

а) , б) , в) ,

г) , д) ,

е) , ж) , з),

и) .

2. Все перестановки из упражнения 1 привести к каноническому виду и найти числа их инверсий.

3. Для следующих перестановок найти им обратные перестановки:

а) , б) , в),

г) , д).

4. Найти произведения следующих перестановок:

а), б) ,

в), г).

5. Следующие перестановки разложить в произведения: а) независимых циклов, б) транспозиций, в) простых транспозиций;– и указать их четность:

а) , б) , в),г),

д) , е) , ж) ,

з) , и) .

6. Какое наибольшее число инверсий может иметь перестановка порядка: а) 2, б) 4, в) 7, г) 15, д) n ?

7. С каким знаком в определители соответствующих порядков будут входить произведения: а) a₂₁a₁₃a₃₂, б) а₄₂а₁₁а₂₃а₃₄, в) а₁₅а₄₃а₂₄а₅₁а₃₂, г) а₃₆а₅₇а₂₄а₁₅а₇₂а₆₃а₄₁ ?

8. Какие значения должны принимать m и k с тем, чтобы произведение

а₁₄а₂₅а_3mа₄₇а_5kа₆₂а₇₃ входило в определитель 7-го порядка: а) со своим знаком, б) с противоположным знаком?

9. Вычислить следующие определители 2-го и 3-го порядков, используя их определение:

а) , б) , в) , г), д) , е) ,

ж) , з) , и) , к) ,

л) , м) , н) , о) , п) .

Как уже отмечалось выше в пункте 3.6, в общем случае использование формулы (3.18) для вычисления определителей малоэффективно. Один из основных способов вычисления определителей связан с предложением 3.15 и опирается на приемы, используемые в методе Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений ([1],[14],[24],[25],[33],[34]). Выбирая в определителе подходящий ведущий элемент, с помощью строчных элементарных преобразований приводим определитель к виду (3.30), учитывая при этом предложения 3.8 и 3.12. Использование после этого предложения 3.15 приводит к определителю порядка на единицу меньше. Повторяя этот процесс нужное число раз, приходим к определителю порядка 2, который вычисляется по формуле (3.18).

Пример 14. Продемонстрируем этот способ на следующем примере.

. ►

10. Вычислить следующие определители:

а) , б) , в) , г) .

При вычислении определителей полезно также использовать элементарные преобразования и . При этом в силу Предложения 3.8 необходимо каждый раз умножать определитель на для того, чтобы не изменить его значения.

Пример 15. Вычислим следующий определитель

=

==

11. Вычислить следующие определители:

а) , б) , в) ,

г) , д) , е) .

Прежде чем начинать вычислять определитель, следует, учитывая его особенности, провести ряд вспомогательных преобразований, упрощающих задачу. Типичным примером являются определители, у которых сумма всех элементов, стоящих в каждой его строке (в каждом его столбце), одинакова.

Пример 16. Вычислить

◄ Каждая строка определителя, начиная со второй, получена циклическим сдвигом предыдущей строки на один элемент вправо. Поэтому сумма элементов каждой строки одинакова и равна Прибавляя к первому столбцу все остальные столбцы, получаем

Далее заметим, что сумма первого и третьего столбцов имеет одинаковые с точностью до знака элементы. Проводя преобразование , получаем

►

12. Вычислить следующие определители:

а) , , ,

.

Напомним, что определитель матрицы треугольного вида равен произведению диагональных элементов.

13.Следующие определители вычислить методом приведения к треугольному виду:

Определители, имеющие большое количество нулевых элементов, часто удобно вычислять, применяя разложение его по столбцу или строке.

Пример 17. Вычислить следующий определитель, где значок « / » означает «произвольный элемент»

◄ Решение этого примера проведем двумя способами.

Первый способ – разложение определителя по столбцу:

Второй способ – по определению.

Данный определитель содержит 24 члена, один из которых равен

где

Легко заметить, что остальные члены определителя равны нулю, так каждый из них содержит по крайней мере один из нулевых сомножителей. Поэтому

►

14. Следующие определители вычислить методом разложения по строке или столбцу.

Описанные выше методы вычисления определителей малых порядков (приведение к треугольному виду, разложение по строке или столбцу, использование основного определения) применимы и для вычисления определителей произвольного порядка n. Получаемый при этом ответ зависит от n и, следовательно, представляет собой формулу вычисляемого определителя. Прежде чем выводить искомую формулу определителя следует выяснить каков порядок определителя, а после получения его формулы в целях контроля за правильностью вычислений следует проверить её верность для малых размеров.

Пример 18. Найти формулу для вычисления определителя

.

◄ Данный определитель имеет порядок n. Будем его вычислять по второму варианту решения примера 17. Из членов данного определителя член равен нулю, так как содержит по меньшей мере один нулевой сомножитель. Поэтому

где

Следовательно,

► (3.44)

Замечание 3. Обращаем внимание на то, что по формуле (3.44) также вычисляются треугольные определители порядка n

Пример 19. Вычислить определитель

◄ Считая, что определитель имеет порядок n, прибавим к его первому столбцу все остальные столбцы, а после этого вычтем первую строку из всех остальных строк. Получаем, что

►

Для нахождения формулы определителя порядка n можно применять метод полной математической индукции.

Пример 20. Найти формулу вычисления определителя

◄ Вначале сформулируем гипотезу для формулы определителя и для этого вычислим определители

представляя последнюю строку в виде суммы двух строк, получаем, что

В результате мы можем сформулировать гипотезу о том, что

(3.45)

Остается совершить индукционный переход. Пусть формула (3.45) верна. Тогда

Откуда следует, что формула (3.45) верна для всех ►

Пример 21. Вычислить определитель порядка 2n

◄ Расписав определитель более подробно, получаем, что

►

15. Вычислить определители:

16. Вывести формулы для вычисления определителей:

Другие способы вычисления определителей произвольного порядка читатель может найти в задачнике [20].