-
Теорема Крамера
В лекции VIII, 3.1 были приведены формулы Крамера для СЛАУ порядка два (см. (3.5)). Теперь же в качестве приложения формул (3.35), (3.36) получим формулы Крамера в общем случае. На самом деле, мы получим более общий результат, касающийся неоднородной СЛАУ с квадратной матрицей.
Предложение
3.20. Пусть
,
.
Для того, чтобы система уравнений
(3.38)
была определенной,
необходимо и достаточно, чтобы
.
Если последнее
условие выполнено решение
системы (3.38)
имеет вид
,
, (3.39)
где матрица
получается из матрицы
заменой столбца
на столбец свободных членов системы
(иными словами
получается из
«трансплантацией» столбца
вместо столбца
).
◄ Необходимость.
Пусть система (3.38) определенная. Покажем,
что
.
Допустим противное, что
.
В силу предложения 1.5
,
где
.
Из предложения 3.16 следует, что
,
то есть
,
так как
,
в силу предложения 3.19. Следовательно,
.
Так как СЛАУ (3.38) равносильна матричному уравнению
, (3.40)
то последнее имеет единственное решение. Но уравнение (3.40) равносильно системе уравнений
(3.41)
Поэтому уравнение
имеет единственное решение, что
невозможно, так как применение к
соответствующей СЛАУ метода Гаусса,
показывает (см. Лекцию VII), что система (3.41), а с ней и уравнение (3.40) либо не имеют решений, либо имеют более одного решения.
Достаточность.
Пусть
.
Тогда матрица
обратима и в силу предложения 1.8 уравнения
(3.40) при любой правой части
имеет единственное решение
.
По формулам (3.35), (3.36) с использованием
леммы о «трансплантации» (предложение
3.17) получаем, что
.
Откуда и следуют формулы Крамера (3.39). ►
Сделаем заключительные замечания по рассматриваемой теме.
Замечание 1. Приложение определителей во всех областях математики столь велико, что невозможно дать сколько-нибудь полного обзора на эту тему. Поэтому ограничимся характерными примерами из алгебры, геометрии и анализа.
Пример 10. Определитель Вандермонда ([3], гл.3, §2)
(3.42)
встречается во многих разделах алгебры, анализа и др., а формула (3.42) дает простой способ его вычисления. Например,
Пример 11. Определитель Грама ([4], гл.4, §2)
где
совпадает с квадратом объема
мерного
параллелепипеда, натянутого на векторы
Элементами определителя могут быть не только числа, но и многочлены, функции, матрицы и т.д.
Пример 12. Определитель
является многочленом
от
степени n
и называется
характеристическим
многочленом
матрицы
Характеристический многочлен играет
важную роль в спектральной теории матриц
и будет детально изучаться в третьей
части данного курса ([4], гл.2, §3, [7], гл.4,
4.1).
Пример 13. Функциональный определитель Якоби системы n дифференцируемых функций от n переменных
(3.43)
имеет вид
называется якобианом системы (3.43) и имеет большое значение в анализе функций многих переменных ([3], Приложение 1).
Замечание 2. Значение теории определителей для математики столь существенно, что созданы различные варианты построения этой теории, отличные от того варианта, которым мы воспользовались выше. Здесь мы остановимся еще на одном определении «по индукции», заметив, что более подробный обзор на эту тему содержится в учебнике [3], гл. 3, §4.
Будем считать,
что определитель матрицы
равен числу
.
Определители
матриц второго и третьего порядков
вводим соответственно по формулам (3.4)
и (3.20). Пусть определители порядков
уже определены. Назовем определителем
матрицы
величину
где
миноры матрицы
порядка
получающиеся вычеркиванием в
строки
и столбца
.
Легко убедиться, что выражения при
совпадают с формулами (3.4), (3.20).
Новое определение определителя равносильно его определению, данному в пункте 3.6, и порождает эквивалентную теорию определителей, описанную выше.