- •Задачи для самостоятельного решения
- •9. Определенный интеграл
- •10. Применение определенных интегралов. Несобственные интегралы
- •Объем тела вращения
- •Длина дуги плоской кривой
- •Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
- •Несобственные интегралы от неограниченных функций
- •Задачи для самостоятельного решения
- •10. Применение определенных интегралов. Несобственные интегралы
- •11. Дифференциальные уравнения
- •Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши
- •Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •Однородные дифференциальные уравнения
- •Линейные дифференциальные уравнения
- •Метод подстановки (метод Бернулли)
- •Задачи для самостоятельного решения
- •11. Дифференциальные уравнения
- •12. Числовые ряды
- •Ряды с положительными членами. Признаки сходимости
- •Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости Лейбница
- •Знакопеременные ряды
- •Задачи для самостоятельного решения
- •12. Числовые ряды
- •13. Степенные ряды
- •Содержание
- •Минченков Юрий Владимирович высшая математика Сборник задач по математическому анализу
- •220086, Минск, ул. Славинского, 1, корп. 3.
Несобственные интегралы от неограниченных функций
Пусть функция непрерывна на конечном промежутке , но не ограничена на этом промежутке.
Определение 2. Несобственным интегралом от функции у = f(x) на промежутке [а, b) называется предел , т.е.
.
Если предел, стоящий в правой части равенства, существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.
Несобственные интегралы от неограниченных функций иногда называют несобственными интегралами второго рода.
Аналогично вводится понятие несобственного интеграла от функции непрерывной, но не ограниченной на промежутке :
.
Если функция не ограничена при , где , и непрерывна при и , то несобственный интеграл от функции у = f(x) на отрезке обозначается и определяется равенством
.
Несобственный интеграл называется сходящимся, если сходятся оба несобственных интеграла в правой части равенства. В противном случае данный интеграл называется расходящимся.
Пример 3. Исследовать на сходимость несобственный интеграл
.
Решение. Данный интеграл является интегралом от неограниченной функции (подынтегральная функция не определена в точке , при эта функция неограниченно возрастает).
По определению имеем
[замена: ] = ,
следовательно, данный интеграл сходится.
Задачи для самостоятельного решения
10. Применение определенных интегралов. Несобственные интегралы
1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
a) и осью Ox; б) ;
в) и ; г) и ;
д) и ; е) и .
2. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной линиями:
а) где ; б) ;
в) ; г) .
3. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной линиями:
а) ; б) ;
в) ; г) .
4. а) вычислить длину дуги кривой , заключенной между точками, для которых .
б) вычислить длину дуги кривой , заключенной между точками, для которых .
5. Исследовать на сходимость несобственные интегралы:
а) ; б) ; в) ; г) ;
д) ; е) ; ж) ; з) ;
и) ; к) ; л) ; м) .
11. Дифференциальные уравнения
Пусть F: – непрерывная функция. Соотношение
, |
(1) |
связывающее независимую переменную х, неизвестную функцию и ее производные (наличие хотя бы одной производной обязательно), называется дифференциальным уравнением.
Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в уравнение.
График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.
Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием этого уравнения.
Решение может быть задано в неявном виде . В этом случае его называют интегралом дифференциального уравнения.
Общим решением дифференциального уравнения (1) называется функция
, |
(2) |
зависящая от х и n произвольных независимых постоянных , обращающая это уравнение в тождество. Заметим, что число произвольных постоянных равно порядку дифференциального уравнения.
Общее решение, заданное в неявном виде
,
называется общим интегралом.
Частным решением дифференциального уравнения (1) называется решение, которое получается из (2), если придать конкретные значения произвольным постоянным, т. е.
,
где – фиксированные числа.
Частным интегралом называется интеграл, полученный из общего путем фиксирования произвольных постоянных
,
где – фиксированные числа.