- •Задачи для самостоятельного решения
- •9. Определенный интеграл
- •10. Применение определенных интегралов. Несобственные интегралы
- •Объем тела вращения
- •Длина дуги плоской кривой
- •Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
- •Несобственные интегралы от неограниченных функций
- •Задачи для самостоятельного решения
- •10. Применение определенных интегралов. Несобственные интегралы
- •11. Дифференциальные уравнения
- •Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши
- •Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •Однородные дифференциальные уравнения
- •Линейные дифференциальные уравнения
- •Метод подстановки (метод Бернулли)
- •Задачи для самостоятельного решения
- •11. Дифференциальные уравнения
- •12. Числовые ряды
- •Ряды с положительными членами. Признаки сходимости
- •Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости Лейбница
- •Знакопеременные ряды
- •Задачи для самостоятельного решения
- •12. Числовые ряды
- •13. Степенные ряды
- •Содержание
- •Минченков Юрий Владимирович высшая математика Сборник задач по математическому анализу
- •220086, Минск, ул. Славинского, 1, корп. 3.
Однородные дифференциальные уравнения
Вначале введем понятие однородной функции. Функция называется однородной функцией порядка k, если
, .
Пример 3. Какие из функций будут однородными?
1) ;
2) ;
3) .
Решение:
1.
.
Функция – однородная функция второго порядка (так как переменная t в квадрате, т. е. k = 2).
2. .
Функция – однородная функция четвертого порядка.
3.
.
Функция не является однородной.
Уравнение вида
(10) |
называется однородным, если – однородные функции одного порядка, то есть в (10):
, .
Заметим, что уравнение (10) можно привести к виду
.
С помощью подстановки
, |
(11) |
где – новая неизвестная функция, однородное уравнение (10) может быть приведено к уравнению с разделяющимися переменными относительно неизвестной функции и переменной х.
Пример 4. Решить уравнение .
Решение
В данном случае функции и – однородные функции первого порядка. Действительно:
,
.
Таким образом, исходное уравнение есть однородное уравнение (10) и для его решения необходимо применить подстановку (11):
.
Подставим у и dy в уравнение:
,
,
или ,
– уравнение с разделяющимися переменными.
.
Подставляя в данное решение , получаем общее решение исходного уравнения:
.
Заметим, что к данному общему решению необходимо добавить решение , полученное выше. Действительно, будет также решением исходного уравнения, так как при , следовательно
.
Таким образом, непосредственной подстановкой мы убедились, что – также решение исходного уравнения, причем оно не может быть получено из общего ни при каких значениях константы С. Значит, решением исходного уравнения будет:
и .
Линейные дифференциальные уравнения
Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение первой степени относительно неизвестной функции у и ее производной у′, т. е. уравнение вида
. |
(12) |
Здесь и – непрерывные на функции.
Если в (12) правая часть , то уравнение называется линейным неоднородным, если – линейным однородным уравнением.
Метод подстановки (метод Бернулли)
По этому методу решение уравнения (12) ищется в виде
, |
(13) |
где и – некоторые непрерывно-дифференцируемые на функции, которые необходимо будет найти.
Так как , то
.
Подставим у и в уравнение (12):
. |
(14) |
В качестве возьмем такую функцию, чтобы выражение в уравнении (14) обращалось бы в нуль, т. е.
. |
(15) |
Тогда уравнение (14) преобразуется в уравнение
. |
(16) |
Уравнения (15) и (16) являются уравнениями с разделяющимися переменными (способ их решения смотрите выше). Решим вначале уравнение (15):
,
,
,
,
, ,
. |
(17) |
Как правило, константу в (17) полагают равной 1.
Подставим найденную функцию из (17) в уравнение (16):
. |
(18) |
Таким образом, мы определили необходимые нам неизвестные функции и . Следовательно, решением исходного линейного дифференциального уравнения первого порядка будет функция
. |
(19) |
Формула (19) позволяет сразу найти решение дифференциального уравнения (12). Но в силу ее громоздкости лучше помнить алгоритм решения таких уравнений, а именно, подстановку . Заметим, что формула (19) значительно упрощается для линейного однородного уравнения (в котором ):
. |
(20) |
Пример 5. Решить уравнение
. |
(21) |
Решение
Сравнивая вид уравнения (21) с видом уравнения (12), действительно убеждаемся, что оно линейное:
, ,
причем оно неоднородное.
Для его решения применим подстановку (13):
,
,
,
. |
(22) |
1. Пусть .
,
,
тогда при
. |
(23) |
2. Подставим (23) в (22):
,
,
. |
(24) |
Таким образом, учитывая (23) и (24), общим решением уравнения (21) будет функция:
. |