Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши

Общий вид дифференциального уравнения первого порядка

.

(3)

Если это уравнение разрешимо относительно , то

.

(4)

Следовательно, общим решением дифференциального уравнения (3) называется функция

,

зависящая от х и произвольной постоянной С, обращающая это уравнение в тождество.

Общее решение, заданное в неявном виде

,

называется общим интегралом.

Геометрически общее решение представляет собой семейство интегральных кривых на плоскости, зависящих от одного параметра С. Частное решение и частный интеграл имеют соответственно вид:

; .

Уравнение имеет бесконечное число решений. Чтобы из этого множества решений выделить одно, т. е. частное решение, надо задать некоторое дополнительное условие. Таким условием, определяющим частное решение, является начальное условие, или условие Коши:

,

(5)

где х₀ – заданный элемент из области определения.

Задача отыскания частного решения уравнения (4), удовлетворяющего начальному условию (5), называется задачей Коши для этого уравнения.

Пример 1. Решить задачу Коши , .

Решение

,

– общее решение данного уравнения.

Для решения задачи Коши найдем константу С. Подставим в общее решение , :

.

Таким образом, решением задачи Коши будет функция

.

Следовательно, интегральная кривая имеет вид

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида

,

(6)

или уравнение вида

(7)

Заметим, что уравнение (6) можно привести к виду (7), и наоборот. Действительно, так как , то, умножив обе части уравнения на , будем иметь:

– уравнение вида (7).

Далее будем рассматривать уравнение вида (7). Для его решения необходимо добиться того, чтобы при дифференциале стояли только функции, зависящие от переменной х, а при дифференциале – функции, зависящие от переменной у, а затем получившееся уравнение с разделенными переменными можно будет почленно интегрировать. Пусть ни одна из функций не равна тождественно нулю. Тогда, разделив уравнение (7) на произведение , получим уравнение с разделенными переменными:

, .

(8)

Интегрируя (8) почленно, получаем общий интеграл исходного уравнения (7):

.

(9)

Заметим, что мы делили уравнение (7) на произведение , предполагая, что , . При этом мы могли не учесть другие решения исходного уравнения. Непосредственной подстановкой или необходимо проверить, будут ли еще решения уравнения (7) помимо решения (9).

Пример 2. Решить уравнение .

Решение

.

Таким образом, мы получили уравнение с разделенными переменными. Интегрируя его, получим

– общее решение данного уравнения. Заметим:

1) мы взяли константу С в виде , учитывая вид интегралов;

2) мы делили на . Пусть теперь . Непосредственной подстановкой убеждаемся, что – решение исходного уравнения. Но оно не будет особым решением, так как оно получается из общего при .