Частный институт управления и предпринимательства

Ю. В. Минченков высшая математика Дифференцированные уравнения

Учебно-методическое пособие

Минск 2007

УДК 51

ББК 22.11я73

М 62

Рекомендовано к изданию редакционно-издательским советом Частного института управления и предпринимательства

Автор

заведующий кафедрой высшей математики и статистики Частного института управления и предпринимательства кандидат физико-математических наук, доцент Ю. В. Минченков

Рецензенты:

доцент кафедры высшей математики Белорусского государственного экономического университета кандидат физико-математических наук, доцент А. И. Астровский;

доцент кафедры высшей математики и информатики Государственного института управления и социальных технологий БГУ кандидат физико-математических наук, доцент Н. Н. Рачковский

Рассмотрено и одобрено на заседании

кафедры высшей математики и статистики,

протокол № 2 от 12.09.2007 г.

Минченков, Ю. В.

М 62 Высшая математика. Дифференциальные уравнения: учеб.-метод. пособие / Ю. В. Минченков. – Минск: Частн. ин-т управ. и предпр., 2007.– 27 с.

Учебное пособие по дисциплине «Высшая математика» подготовлено в соответствии с рабочей программой ЧИУиП, разработанной в соответствии с типовой программой по высшей математике для экономических специальностей, утвержденной Министерством образования Республики Беларусь. Оно охватывает основное содержание тем «Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными», «Однородные и линейные дифференциальные уравнения первого порядка», содержит лекции, примеры, задачи для самостоятельного решения.

Предназначено для студентов Частного института управления и предпринимательства.

УДК 51

ББК 22.11я73

© Минченков Ю. В., 2007

© Частный институт управления и предпринимательства, 2007

Лекция 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ

План:

1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши.

3. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

Ключевые понятия

Дифференциальное уравнение. Порядок дифференциального уравнения. Интегральная кривая. Общее и частное решения дифференциального уравнения. Общий и частный интегралы дифференциального уравнения. Задача Коши. Уравнение с разделяющимися переменными.

1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений

Пусть F: – непрерывная функция. Соотношение

,

(1)

связывающее независимую переменную х, неизвестную функцию и ее производные (наличие хотя бы одной производной обязательно), называется дифференциальным уравнением.

Если уравнение (1) можно записать в виде

,

(2)

где f : – известная функция, то будем говорить, что дифференциальное уравнение разрешено относительно старшей производной . Оно называется дифференциальным уравнением в нормальной форме.

Дифференциальное уравнение, в котором неизвестная функция у зависит от одной переменной х, называется обыкновенным (ОДУ). Если же дифференциальное уравнение содержит неизвестную функцию нескольких переменных и ее частные производные, то оно называется уравнением в частных производных.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в уравнение.

Решением (или интегралом) дифференциального уравнения n-го порядка называется любая функция, которая задана на промежутке, имеет на этом промежутке производную порядка n и обращает уравнение в верное равенство в каждой точке данного промежутка.

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием этого уравнения.

Решение может быть задано в неявном виде . В этом случае его называют интегралом дифференциального уравнения.

Общим решением дифференциального уравнения (1) называется функция

,

(3)

зависящая от х и n произвольных независимых постоянных , обращающая это уравнение в тождество. Заметим, что число произвольных постоянных равно порядку дифференциального уравнения.

Общее решение, заданное в неявном виде

,

называется общим интегралом.

Частным решением дифференциального уравнения (1) называется решение, которое получается из (3), если придать определенные значения произвольным постоянным, т. е.

,

где – фиксированные числа.

Частным интегралом называется интеграл, полученный из общего путем фиксирования произвольных постоянных

,

где – фиксированные числа.

В общем случае дифференциальное уравнение может не иметь решения. Поэтому есть ряд теорем существования, которые накладывают условия на правую часть дифференциального уравнения, при выполнении которых решение существует.