2. Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа).

Рассмотрим уравнение (3):

.

Найдем вначале общее решение однородного уравнения

.

Его решением будет функция (11):

.

По методу вариации произвольной постоянной общее решение (3) ищут в виде (11), полагая в этом соотношении величину С функцией от х:

.

(17)

.

(18)

Подставим (17), (18) в (3):

,

,

,

,

.

(19)

Подставив из (19) в (17), получим общее решение дифференциального уравнения (3), совпадающее, естественно, с формулой (10):

.

ПРИМЕР 4

Решить уравнение (12) методом вариации произвольной постоянной

.

Решение

Вначале рассмотрим однородное уравнение . Решим его:

,

,

.

(20)

Функция (20) – решение однородного уравнения. Учитывая вид (20), решение неоднородного уравнения (12) будем искать в виде

.	(21)
.	(22)

Подставим (21), (22) в (12):

,

,

.

(23)

Подставим (23) в (21). В итоге получаем решение исходного уравнения (12):

.

(24)

Функция (24), естественно, совпала с функцией (16), так как эти функции являются решением одного и того же уравнения (12).

Рассмотрим следующий важный класс дифференциальных уравнений первого порядка.

Уравнением Бернулли называется уравнение вида

,

(25)

где . В случае , уравнение (25) является линейным уравнением (3). Во всех других случаях оно сводится к линейному с помощью подстановки

.

(26)

ПРИМЕР 5

Решить уравнение

.

(27)

Решение

Уравнение (27) – уравнение Бернулли, так как из

,

(28)

т. е. .

Используя подстановку , преобразуем уравнение Бернулли (28) в линейное:

,

.

(29)

Решим линейное дифференциальное уравнение (29) методом Лагранжа (вариации произвольной постоянной):

1. Вначале решим соответствующее однородное линейное уравнение:

^,

,

.

(30)

2. Пусть – решение (29)

.

(31)

Подставим и в (29):

,

,

;

а) вычислим методом интегрирования по частям:

,

.

(32)

б)

.

(33)

Следовательно, используя (32), (33):

.

Таким образом:

.

(34)

Подставим (34) в решение :

.

Переходя к переменной у (из подстановки ), получаем решение исходного уравнения (27):

.

3. Уравнения в полных дифференциалах

Уравнением в полных дифференциалах называется дифференциальное уравнение первого порядка вида

,

(35)

левая часть которого есть полный дифференциал некоторой функции .

Напомним, что полным дифференциалом функции называется выражение

,

(36)

где и – частные производные.

Следовательно, уравнение (35) можно записать в виде

.

(37)

Поэтому функция

(38)

есть общий интеграл (решение) дифференциального уравнения (35).

Необходимым и достаточным условием того, чтобы уравнение (35) было уравнением в полных дифференциалах, является выполнение условия

.

(39)

Учитывая (36), функция может быть найдена из системы уравнений:

(40)

В случае, когда не выполняется условие (39), т. е. левая часть (35) не является полным дифференциалом некоторой функции, иногда можно найти функцию М (х, у) такую, что

,

т. е. умножив на М (х, у), уравнение становится уравнением в полных дифференциалах. В этом случае функция М (х, у) называется интегрирующим множителем:

1. Если

,

(41)

то интегрирующий множитель зависит только от х, т. е. М = М (х), причем

.

(42)

2. Если

,

то интегрирующий множитель зависит только от у, т. е. М = М (у), причем

.

(43)

ПРИМЕР 6

Решить уравнение

.

(44)

Решение

Уравнение (44) – это уравнение в полных дифференциалах, так как

,

– условие (39) выполняется.

Заметим, что это уравнение является также однородным дифференциальным уравнением первого порядка, т. е. его, в принципе, можно решить, используя подстановку .

Левая часть (44) является полным дифференциалом некоторой функции :

,

т. е.

(45)

Проинтегрируем по х первое из уравнений (45), считая у постоянным, при этом вместо постоянной интегрирования надо поставить :

.

(46)

Продифференцируем эту функцию по у и учтем второе уравнение (45):

.

Следовательно, из (46):

,

где – общий интеграл исходного дифференциального уравнения.

ПРИМЕР 7

Проинтегрировать уравнение

.

(47)

Решение

,

.

Так как , то уравнение (47) не является уравнением в полных дифференциалах. Попробуем найти для него интегрирующий множитель:

,

т. е. выполняется условие (41). Следовательно, из (42):

,

.

(48)

Умножим уравнение (47) на :

,

.

(49)

Уравнение (49) – уравнение в полных дифференциалах, так как

т. е. ,

значит, условие (39) выполнено.

Решаем (49) аналогично, как и в примере 6:

,

(50)

,

.

Подставим в формулу (50):

.

Общий интеграл исходного дифференциального уравнения имеет вид:

.

Завершая анализ основных типов дифференциальных уравнений первого порядка, следует сказать, что существует большое количество таких уравнений, решения которых могут быть найдены только численными методами, например, методами Эйлера, Рунге-Кутта и другими.