2. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши

Общий вид дифференциального уравнения первого порядка

.

(4)

Если это уравнение разрешимо относительно , то

.

(5)

Следовательно, общим решением дифференциального уравнения (4) называется функция

,

зависящая от х и произвольной постоянной С, обращающая это уравнение в тождество.

Общее решение, заданное в неявном виде

,

называется общим интегралом.

Геометрически общее решение представляет собой семейство интегральных кривых на плоскости, зависящих от одного параметра С. Частное решение и частный интеграл имеют соответственно вид:

; .

Уравнение имеет бесконечное число решений. Чтобы из этого множества решений выделить одно, т. е. частное решение, надо задать некоторые дополнительные условия. Таким условием, определяющим частное решение, является начальное условие, или условие Коши:

,

(6)

где х₀ – заданный элемент из области определения.

Задача отыскания частного решения уравнения (5), удовлетворяющего начальному условию (6), называется задачей Коши для этого уравнения.

Рассмотрим простейшее дифференциальное уравнение первого порядка

,

(7)

где – непрерывная на некотором промежутке функция.

Решение ОДУ (7) находится интегрированием левой и правой частей (7):

.

ПРИМЕР 1

Решить уравнение и построить семейство интегральных кривых.

Решение

– общее решение данного уравнения, где С = const.

Задавая конкретные значения постоянной С, будем иметь частные решения исходного уравнения.

Таким образом, интегральные кривые – это множество парабол. Построим их:

Если для данного уравнения задана задача Коши, т. е. необходимо найти решение исходного уравнения, удовлетворяющего начальному условию, например:

,

то для ее решения необходимо в общее решение задачи вместо х и у подставить , и найти конкретное значение произвольной постоянной С. Так как , то .

Следовательно, решением данной задачи Коши будет функция

.

Заметим, что график этой функции проходит через точку . С геометрической точки зрения, решить задачу Коши – значит, из бесконечного множества интегральных кривых найти ту, которая проходит через точку с координатами .

ПРИМЕР 2

Решить задачу Коши

, .

Решение

,

– общее решение данного уравнения.

Для решения задачи Коши найдем константу С. Подставим в общее решение , :

.

Таким образом, решением задачи Коши будет функция

.

Следовательно, интегральная кривая имеет вид

3. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида

,

(8)

или уравнение вида

.

(9)

Заметим, что уравнение (8) можно привести к виду (9), и наоборот. Действительно, так как , то, умножив обе части уравнения на , будем иметь:

– уравнение вида (9).

Далее будем рассматривать уравнение вида (9). Для его решения необходимо добиться того, чтобы при дифференциале стояли только функции, зависящие от переменной х, а при дифференциале – функции, зависящие от переменной у, а затем получившееся уравнение с разделенными переменными можно будет почленно интегрировать. Заметим, что это необходимо сделать обязательно, так как непосредственно уравнение вида (9) интегрировать крайне сложно.

Пусть ни одна из функций не равна тождественно нулю. Тогда, разделив уравнение (9) на произведение , получим уравнение с разделенными переменными:

, .

(10)

Интегрируя (10) почленно, получаем общий интеграл исходного уравнения (9):

.

(11)

Заметим, что мы делили уравнение (9) на произведение , предполагая, что , . При этом мы могли не учесть другие решения исходного уравнения. Непосредственной подстановкой или необходимо проверить, будут ли еще решения уравнения (9) помимо решения (11).

ПРИМЕР 3

Решить уравнение .

Решение

.

Таким образом, мы получили уравнение с разделенными переменными. Интегрируя его, получим

– общее решение данного уравнения. Заметим:

1) мы взяли константу С в виде , учитывая вид интегралов;

2) мы делили на . Пусть теперь . Непосредственной подстановкой убеждаемся, что – решение исходного уравнения. Но оно не будет особым решением, так как оно получается из общего при .

ПРИМЕР 4

Решить задачу Коши

, .

Решение

Данное уравнение есть уравнение вида (9), т. е. уравнение с разделяющимися переменными. Непосредственно его интегрировать нельзя, так как при стоит функция от у, а при – функция от х. Умножив данное уравнение на , получим

.

(12)

Уравнение (12) – уравнение с разделенными переменными. Следовательно, его можно почленно интегрировать (обратите внимание на выбор вида константы С):

– общее решение исходного ОДУ. Интегральными кривыми будут окружности радиуса с центром в начале координат:

Для решения задачи Коши необходимо из бесконечного множества интегральных кривых найти ту, которая проходит через точку . Для нахождения конкретного значения С подставим в общее решение:

.

Таким образом, решением задачи Коши будет функция , а соответствующая интегральная кривая – это окружность радиуса с центром в начале координат.

ПРИМЕР 5

Решить уравнение

.

Решение

Данное уравнение не является уравнением с разделяющимися переменными (9), так как при дифференциале стоит функция , которую нельзя представить в виде произведения , поэтому это уравнение нельзя решить способом, описанным выше. Способ решения подобных уравнений будет описан в следующей лекции.

Заметим, что ОДУ с разделяющимися переменными играют очень важную роль в теории дифференциальных уравнений. Как правило, основные виды ОДУ первого порядка путем различных подстановок будут приводиться к данному типу уравнений.

Лекция 2. ОДНОРОДНЫЕ И ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

План:

1. Однородные дифференциальные уравнения.

2. Линейные дифференциальные уравнения.

3. Уравнения в полных дифференциалах.