Ключевые понятия

Однородная функция. Однородные дифференциальные уравнения. Линейные дифференциальные уравнения. Метод подстановки. Метод вариации произвольной постоянной. Уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.

1. Однородные дифференциальные уравнения

Вначале введем понятие однородной функции. Функция называется однородной функцией порядка k, если

, .

ПРИМЕР 1

Какие из функций будут однородными?

1) ;

2) ;

3) .

Решение

1.

Функция – однородная функция второго порядка (так как переменная t в квадрате, т. е. k = 2).

2. .

Функция – однородная функция четвертого порядка.

3.

.

Функция не является однородной.

Уравнение вида

(1)

называется однородным, если – однородные функции одного порядка, то есть в (1):

, .

Заметим, что уравнение (1) можно привести к виду

.

С помощью подстановки

,

(2)

где – новая неизвестная функция, однородное уравнение (1) может быть приведено к уравнению с разделяющимися переменными относительно неизвестной функции и переменной х.

ПРИМЕР 2

Решить уравнение

.

Решение

В данном случае функции и – однородные функции первого порядка. Действительно:

,

.

Таким образом, исходное уравнение есть однородное уравнение (1) и для его решения необходимо применить подстановку (2):

.

Подставим у и dy в уравнение:

,

,

или ,

– уравнение с разделяющимися переменными.

.

Подставляя в данное решение , получаем общее решение исходного уравнения:

.

Заметим, что к данному общему решению необходимо добавить решение , полученное выше. Действительно, будет также решением исходного уравнения, так как при , следовательно

.

Таким образом, непосредственной подстановкой мы убедились, что также решение исходного уравнения, причем оно не может быть получено из общего ни при каких значениях константы С. Значит, решением исходного уравнения будет:

и .

Заметим, что если заранее известно, что уравнение однородное, то нет необходимости проверять однородность функций , а сразу нужно использовать подстановку (2) и в конечном ответе не забыть заменить новую функцию на .

2. Линейные дифференциальные уравнения

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение первой степени относительно неизвестной функции у и ее производной , т. е. уравнение вида

.

(3)

Здесь и – непрерывные на функции.

Если в (3) правая часть , то уравнение называется линейным неоднородным, если – линейным однородным уравнением.

Существует несколько методов интегрирования линейных дифференциальных уравнений первого порядка. Рассмотрим некоторые из них. Сразу отметим, что при решении одного и того же уравнения различными методами мы должны получить один и тот же ответ.

1. Метод подстановки (метод Бернулли).

По этому методу решение уравнения (3) ищется в виде

,

(4)

где и – некоторые непрерывно-дифференцируемые на функции, которые необходимо будет найти.

Так как , то

.

Подставим у и в уравнение (3):

.

(5)

В качестве возьмем такую функцию, чтобы выражение в уравнении (5) обращалось бы в нуль, т. е.

.

(6)

Тогда уравнение (5) преобразуется в уравнение

.

(7)

Уравнения (6) и (7) являются уравнениями с разделяющимися переменными (способ их решения смотрите выше). Решим вначале уравнение (6):

,

,

,

,

, ,

.

(8)

Как правило, константу в (8) полагают равной 1.

Подставим найденную функцию из (8) в уравнение (7):

.

(9)

Таким образом, мы определили необходимые нам неизвестные функции и . Следовательно, решением исходного линейного дифференциального уравнения первого порядка будет функция

.

(10)

Формула (10) позволяет сразу найти решение дифференциального уравнения (3). Но в силу ее громоздкости лучше помнить алгоритм решения таких уравнений, а именно, подстановку , чем саму формулу (10). Заметим, что формула (10) значительно упрощается для линейного однородного уравнения (в котором ):

.

(11)

ПРИМЕР 3

Решить уравнение

.

(12)

Решение

Сравнивая вид уравнения (12) с видом уравнения (3), действительно убеждаемся, что оно линейное:

, ,

причем оно неоднородное.

Для его решения применим подстановку (4):

^,

^,

,

.

(13)

1) Пусть .

^,

.

Пусть

.

(14)

2) Подставим (14) в (13):

,

,

.

(15)

Таким образом, учитывая (14) и (15), общим решением уравнения (12) будет функция:

.

(16)