§3. Замечательные пределы

Первый замечательный предел

Функция имеет предел, равный единице:

Пример:

Второй замечательный предел

– иррациональное число.

Второй замечательный предел раскрывает неопределенность вида .

Примеры

§ 4. Бесконечно малые величины

Если то – бесконечно малая величина при

Основные свойства бесконечно малых величин

1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая.

2. Произведение конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая.

3. Произведение бесконечно малой величины на ограниченную функцию есть величина бесконечно малая.

4.Величина, обратная бесконечно малой, есть бесконечно большая.

Сравнить две бесонечно малых величины– это значит найти предел их отношения.

Возможны следующие случаи:

тогда – бесконечно малая величина более высокого порядка, чем .

тогда – бесконечно малая величина более низкого порядка, чем .

тогда и одного порядка малости, в частности, если то и называются эквивалентными бесконечно малыми ().

тогда и – не сравнимые бесконечно малые величины.

Теорема.

Предел отношения двух бесконечно малых не изменится, если эти бесконечно малые величины заменить им эквивалентными.

Таблица эквивалентных бесконечно малых (при )

Примеры

§ 5. Непрерывность функций

Функция называется непрерывной в точке х₀, если она определена в некоторой окрестности и в самой точке х₀ и если выполняется условие:

,

(т.е. бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции).

Последнее равенство равносильно следующему:

Формулировка условий непрерывности в развернутом виде:

1. определена в точке и ее окрестности.

2. Существуют конечные односторонние пределы:

3. Односторонние пределы равны друг другу.

4. Односторонние пределы равны значению .

Функция непрерывна на интервале, если она непрерывна в каждой его точке.

Все элементарные функции непрерывны в области своего определения. Если в какой-либо точке функция не является непрерывной, то данная точка будет являться точкой разрыва функции.

Возможны следующие виды разрывов:

а) Существуют конечные односторонние пределы, но они не равны друг другу, тогда – точка неустранимого разрыва первого рода (в точке функция имеет «скачок»).

б) Один или оба односторонних предела не существует или бесконечны, тогда – точка разрыва второго рода (в точке функция имеет бесконечный разрыв).

в) Функция не определена в точке , но условия 2) и 3) непрерывности выполнены, тогда – точка устранимого разрыва первого рода.

Теорема I

Функция, непрерывная в замкнутом интервале, хотя бы в одной точке интервала принимает наибольшее значение и хотя бы в одной точке – наименьшее.

Теорема II

Функция, непрерывная в замкнутом интервале и принимающая на его концах значения разных знаков, хотя бы один раз обращается внутри интервала в нуль.