§ 2. Исследование функции на выпуклость, вогнутость и точки перегиба ее графика

Кривая называется выпуклой на некотором интервале, если все точки кривой лежат ниже любой ее касательной на этом интервале.

Кривая называется вогнутой на некотором интервале, если все точки кривой лежат выше любой ее касательной на этом интервале.

Примеры:

1. Функция вогнута.

2. Функция выпукла на своей области определения.

Теорема (достаточный признак выпуклости и вогнутости)

Если во всех точках интервала , то кривая выпукла на интервале; если же во всех точках интервала , то кривая вогнута на этом интервале.

Точка, отделяющая выпуклую часть непрерывной кривой от вогнутой, называется точкой перегиба кривой.

В точке перегиба касательная либо пересекает кривую, либо не существует..

Теорема (необходимый признак точки перегиба)

Если – абсцисса точки перегиба, то либо , либо не существует.

Точки, в которых , называются стационарными точками II рода. Стационарные точки и точки, в которых вторая производная не существует, вместе называются критическими точками второго рода.

Теорема (первый достаточный признак точки перегиба)

Точка , где – критическая точка второго рода, будет являться точкой перегиба линии , если меняет свой знак при переходе через . При смене знака второй производной с минуса на плюс интервал выпуклости сменяется интервалом вогнутости, при смене «+» на «–» интервал вогнутости сменяется интервалом выпуклости.

Пример.

Исследовать на выпуклость, вогнутость и точки перегиба ее графика функцию

Решение.

1. Область определения функции

2.

3. Ищем критические точки второго рода.

– стационарные точки; других критических точек нет, т.к. определена везде.

4. Определяем интервалы выпуклости и вогнутости по знаку второй производной на каждом из интервалов:

На интервале функция вогнута, на интервале выпукла, на интервале вогнута.

5. Ищем точки перегиба по смене знака второй производной и вычисляем значения функции в точках перегиба:

Теорема (второй достаточный признак существования точки перегиба)

Точка будет являться точкой перегиба линии , если , а , причем если , то интервал выпуклости сменяется интервалом вогнутости, а если – наоборот.

§ 3. Асимптоты

Прямая называется асимптотой кривой L, если расстояние от точки М кривой до этой прямой стремится к нулю по мере удаления точки М вдоль кривой в бесконечность.

Различают вертикальные и невертикальные асимптоты.

Прямая является вертикальной асимптотой кривой , если один или оба односторонних предела функции при бесконечны, т.е. .

Таким образом, критерием существования вертикальных асимптот является наличие точек бесконечного разрыва функции.

Пример

Функция может иметь много вертикальных асимптот (например, тангенсоида имеет бесконечное множество вертикальных асимптот .

Прямая является невертикальной асимптотой кривой , если существуют конечные пределы

Поведение функции может быть различным при Наклонных асимптот может существовать не более двух.

Если , получаем горизонтальную асимптоту .

Примеры

1. Найти асимптоты кривой .

Решение.

– невертикальная асимптота.

Так как каждый предел имеет одинаковые значения при то данная асимптота является двухсторонней.

2. Найти асимптоты кривой .

Решение.

- двухсторонняя горизонтальная асимптота.

Кривая может не иметь ни одной асимптоты.