§ 4. Основные теоремы дифференциального исчисления

Теорема Роля (о корнях производной)

Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема во всех его внутренних точках и имеет на концах отрезка равные значения , то внутри отрезка существует хотя бы одно значение , в которой производная обращается в нуль, т.е. .

Геометрическая интерпретация теоремы Роля:

На дуге графика функции, удовлетворяющей условиям теоремы Ролля, найдется точка М, в которой касательная ТК параллельна хорде АВ и оси ОХ. Таких точек может быть и несколько.

Теорема Лагранжа (о конечном приращении функции)

Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема во всех его внутренних точках, то внутри отрезка существует хотя бы одно значение , для которого:

Из теоремы следует формула конечных приращений:

т.е. приращение функции на интервале равно произведению производной в некоторой промежуточной точке интервала не приращение независимой переменой.

Теорема Коши (об отношении приращений двух функций)

Если функции и непрерывны на отрезке и дифференцируемы во всех его внутренних точках, причем внутри отрезка, то найдется хотя бы одна внутренняя точка , для которой:

.

§ 5. Правило Лопиталя

Теорема 1 (правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей вида)

Пусть функции на некотором отрезке удовлетворяют условиям теоремы Коши и обращаются в нуль при , т. е. . Тогда, если существует предел отношения производных при , то существует и предел отношения функций , причем они равны друг другу: .

Теорема имеет место и в том случае, если функции не определены при х = а, но

Если , а производные удовлетворяют условиям, налагаемым на теоремой 1, правило Лопиталя применяется повторно уже к отношению производных . Получим:

Правило Лопиталя применяется и в том случае, когда а

Правило Лопиталя остается в силе, если окажется, что .

Примеры

Теорема 2 (правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей вида )

Пусть функции непрерывны и дифференцируемы при всех в окрестности точки, причем ; пусть далее . Тогда, если существует предел то существует и предел , и они равны между собой:

.

Данное правило допускает повторное применение, а также сохраняет силу в случаях, когда или когда .

Примеры

.

С помощью правил Лопиталя раскрываются неопределенности которые различными преобразованиями сводятся к неопределенностям видов или .

Примеры

Глава III. Применение производных к исследованию функций и построению их графиков § 1. Исследование функции на монотонность и экстремумы

Теорема (необходимый признак монотонности)

Пусть функция на отрезке имеет производную. Тогда:

1. Если не убывает на , то на отрезке .

2. Если не возрастает на , то на отрезке .

3. Если функция = const на , то на отрезке .

Теорема (достаточный признак монотонности)

Пусть функция непрерывна и дифференцируема на отрезке . Тогда:

1. Если на отрезке , то не убывает на отрезке .

2. Если на отрезке , то не возрастает на отрезке .

3. Если на отрезке , то = const на .

Точка называется: точкой максимума функции , если в некоторой окрестности точки. Точка называется точкой минимума функции, если в некоторой окрестности точки . Точки минимума и максимума называются точками экстремума, а значения функции в них – экстремальными значениями. Точки экстремумов разделяют интервалы монотонности.

Теорема (необходимый признак существования экстремума)

Если в точке функция достигает экстремума, то ее производная в этой точке либо равна нулю, либо не существует.

Точки, в которых производная равна нулю, называются стационарными точками I рода; стационарные точки и точки, где производная не существует, вместе называются критическими точками I рода.

Теорема (первый достаточный признак существования точки экстремума)

Пусть функция непрерывной в не­которой окрестности точки и дифференцируема в ней (за исключением, быть может, самой точки ). Если при переходе че­рез точку производная меняет знак с плюса на минус, то – точка максимума, если с минуса на плюс, то – точка минимума, если знак производной не меняется, то функция не имеет в точке экстреума.

Пример

Исследовать на экстремум функцию

Решение:

1. Ищем область определения:

2. Ищем

3. Ищем критические точки:

существует на всей области определения, поэтому других критических точек нет.

4. Исследуем знаки до и после критических точек:

5. Определяем экстремальные точки по смене знака и вычисляем экстремальные значения функции:

Теорема (второй достаточный признак существования экстремума)

Точка есть точка экстремума функции , если , , причем если , то – точка минимума, а если , то – точка максимума.

Пример

В предыдущем примере

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Для отыскания наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке , надо найти все экстремальные значения функции внутри отрезка и значения функции на концах отрезка. Из всех вычисленных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее:

Пример

Найти наибольшее и наименьшее значение функции (см. предыдущие примеры) на отрезке