- •Введение
- •Глава 1. Функции и пределы § 1. Функции и их свойства
- •§ 2. Предел функции и его свойства
- •§3. Замечательные пределы
- •§ 4. Бесконечно малые величины
- •§ 5. Непрерывность функций
- •Глава II. Дифференциальное исчисление § 1. Производная. Основные правила дифференцирования функций
- •§ 2. Дифференциал функции
- •§ 3. Производные и дифференциалы высших порядков
- •§ 4. Основные теоремы дифференциального исчисления
- •§ 5. Правило Лопиталя
- •Глава III. Применение производных к исследованию функций и построению их графиков § 1. Исследование функции на монотонность и экстремумы
- •§ 2. Исследование функции на выпуклость, вогнутость и точки перегиба ее графика
- •§ 3. Асимптоты
- •§ 4. Схема полного исследования функции
- •Глава IV. Неопределенный интеграл § 1. Понятие первообразной и неопределённого интеграла. Основная таблица интегралов
- •Основные свойства интеграла
- •Основная таблица интегралов
- •§ 2. Основные методы интегрирования
- •§ 3. Интегрирование рациональных дробей
- •§ 4. Интегрирование некоторых видов тригонометрических выражений
- •§ 5. Интегрирование некоторых видов иррациональных выражений
- •Библиографический список Основные учебные и справочные издания
- •Дополнительные учебные и справочные издания
- •Оглавление
§ 3. Интегрирование рациональных дробей
Функция где – многочлены, называется рациональной дробью. Если , то дробь называется правильной, если – неправильной. Неправильную дробь всегда можно представить в виде суммы многочлена и правильной дроби, например:
.
Для интегрирования правильной дроби сначала ищут корни её знаменателя и представляют знаменатель в виде произведения множителей вида и где «а» – действительный корень знаменателя кратности «к», квадратному сомножителю соответствует пара комплексных корней кратности «l», т.к. . Далее дробь разлагается на простейшие дроби по следующему правилу:
1) всякому множителю в разложении соответствует в разложении сумма к штук простейших дробей вида:
.
2) всякому множителю соответствует сумма l простейших дробей вида:
.
Существует 4 типа простейших дробей, которые всегда интегрируются:
к=2,3…
– неопределённые коэффициенты, которые ищутся подбором из условия равенства коэффициентов при одинаковых степенях независимой переменной в исходной дроби и в разложении её на простейшие после приведения к общему знаменателю.
Примеры
1. .
.
Для отыскания коэффициентов А и В имеем условия: .
.
т.е. имеем систему:
2. .
т.к. то разложение данной рациональной дроби будет иметь вид:
следовательно, исходный интеграл сводится к виду:
.
§ 4. Интегрирование некоторых видов тригонометрических выражений
1. Интегралы вида вычисляются с помощью преобразования произведений под знаком интеграла в суммы по известным формулам тригонометрии:
.
Пример
.
2. К Интегралам вида (n, m – целые), если хотя бы одно из чисел n, m – положительное и нечётное, применяют метод отщепления: отщепляют одну степень от той функции, что присутствует в нечётной степени, и производят подведение её под знак дифференциала, при этом получается интеграл от кофункции.
Пример
.
Если хотя бы одно из чисел n, m – отрицательное нечётное, то применяют метод домножения: домножают числитель и знаменатель подынтегральной дроби на ту функцию, которая присутствует в нечётной степени.
Пример
.
Если оба числа n, m – положительные и чётные, тогда применяют метод понижения степени по формулам: .
Пример
.
3) К Интегралам вида (n – натуральное) можно применить метода отщепления: отщепляют или , а далее применяют тождество или соответственно, после чего проводят подведение под знак дифференциала по формулам .
Пример
.
Возможно также применение метода замены переменной: или .
Пример
.
4) Интегралы вида , R– рациональная функция.
Такие интегралы с помощью универсальной тригонометрической подстановки , сводятся к интегралам от рациональной дроби.
Пример
§ 5. Интегрирование некоторых видов иррациональных выражений
Метод рационализации интегралов
Интегралы вида , где R – рациональная функция своих аргументов, сводятся к интегралам от рациональных дробей (рационализуются) с помощью замены , где k– общий знаменатель дробей . Аналогичным образом рационализуются интегралы вида (замена ) и интегралы вида (замена ).
Пример
–
получен интеграл от неправильной рациональной дроби; сведём её к сумме многочлена и правильной дроби делением «столбиком»:
.
Тригонометрические подстановки
Пусть R– рациональная функция своих аргументов.
Интеграл вычисляется с помощью подстановки .
Интеграл вычисляется с помощью подстановки .
Интеграл вычисляется с помощью подстановки .
Пример
.
Интегралы, содержащие квадратный трёхчлен
Интеграл выделением полного квадрата сводится к интегралам, рассмотренным в пункте «Тригонометрические подстановки»
Интеграл выделением полного квадрата сводится к табличному интегралу.
Пример
.