2.  Гармоническая арифметика

 

2.1. Основные положения концепции

оснований гармонической арифметики

 

В настоящей работе в обобщенном виде представляются результаты предпринятой автором попытки разработки арифметической системы, построенной исключительно на абстракции счетной актуальной бесконечности и не содержащей противоречий канторовской теории множеств, равно как и логических ограничений интуиционизма и конструктивизма (гармонической арифметики).

 

2.1.1. О противоречивости канторовской

теории множеств

 

Любая попытка изменения базовой парадигмы некоторой устоявшейся предметной области, а тем более такой консервативной научной дисциплины, как арифметика, предполагает наличие у инициатора нововведений достаточных причин для подобного шага.

Хотя мы располагаем многочисленными содержательными и формальными аргументами для обоснования предлагаемых ниже инноваций, из-за ограниченности места приведем лишь один из них, как наиболее убедительный для современных математиков.

Речь идет о полученном автором доказательстве противоречивости канторовской “диагональной процедуры” и вытекающей из нее противоречивости понятия “несчетности континуума”.

Напомним, что Г. Кантор доказывает теорему о несчетности континуума следующим образом.

Вначале он предполагает существование некоторой счетной (перечислимой) последовательности действительных чисел А. Далее он начинает строить некоторое новое число К (назовем его “канторовским”), заменяя по диагонали десятичные значения чисел, входящих в А, на любые значения, отличные от тех, которые свойственны соответствующим числам из А.

Получаемое подобным образом число К квалифицируется им как отличное от всех других чисел, входящих в А.

Отсюда делается вывод, что получено противоречие с предположением о счетности последовательности А, и, далее, делается заключение о ее “несчетности”.

На наш взгляд, данное рассуждение ошибочно.

1. Начнем с того, что из канторовского рассуждения нельзя точно понять, о какой счетной последовательности идет речь: о потенциальной (незавершенной) или актуальной (завершенной), хотя он неоднократно призывал своих последователей к их четкому различению.

В частности, Г. Кантор писал в работе “О различных точках зрения на актуально бесконечное”: “Несмотря на существенное различие понятий потенциальной и актуальной бесконечности, - притом первая означает переменную конечную величину, растущую сверх всяких конечных границ, а последняя - некоторое замкнутое в себе, постоянное, но лежащее по ту сторону всех конечных величин количество, - к сожалению, слишком часто встречаются случаи смешения этих понятий” [Кантор Г. Труды по теории множеств. – М.:Наука, 1985. - с. 265].

2. Не пытаясь доподлинно установить, какую из двух видов счетных бесконечных последовательностей имел ввиду Г. Кантор в своем “доказательстве” (это, по-видимому, невозможно), рассмотрим поочередно обе логические возможности.

2.1. Предположим вначале, что речь идет о потенциальной счетной бесконечной последовательности.

Тогда канторовское рассуждение неверно, поскольку потенциально бесконечная последовательность всегда пополнима и, следовательно, любое новое число рассматриваемой последовательности может быть “канторовским”. То есть в этом случае отсутствует отличный от потенциально возможных элемент (новое число), который бы нарушал “счетность” потенциальной последовательности.

2.2. Предположим, далее, что речь идет об актуальной счетной бесконечной последовательности.

Тогда канторовское рассуждение также неверно, поскольку актуальная бесконечная последовательность (неважно, конструктивно перечислимая или нет) всегда завершена по определению и элемент, принадлежащий по своим свойствам данной последовательности, не может существовать вне ее, не нарушая свойства завершенности исходной последовательности.

Следовательно, из факта наличия элемента, не входящего в исходную актуальную (по предположению) последовательность, необходимо делать вывод, что данная последовательность к моменту своего формирования была не актуальна (не завершена в полном объеме), а не “несчетна”. То есть мы приходим к тому, что либо процедура канторовского доказательства логически некорректна (факт “неполноты”, “незавершенности” некоторой последовательности не есть доказательство ее “несчетности”), либо исходная последовательность потенциальна, а не актуальна.

Причем вывод Г. Кантора о “несчетности” рассматриваемой последовательности оказывается неправомерным в обоих случаях, поскольку обнаружение логической ошибки есть недостаток доказательства, достаточный для его опровержения, а сведение последовательности А к потенциальной ничего не доказывает (см. п.2.1).

2.3. Предположим, наконец, что Г. Кантор, вопреки собственному определению, неявно ввел некоторый новый математический объект (назовем его “незавершенное актуально бесконечное множество”).

Тогда возражения по пп.2.1 и 2.2 снимаются, но появляется новое: насколько правомерно существование объекта, обладающего некоторым свойством и, одновременно (и в том же отношении), его отрицанием? Ведь “незавершенное актуально бесконечное множество” есть не что иное, как “незавершенное завершенное бесконечное множество” (мы просто подставили вместо предиката “актуальный” его смысловой заменитель - предикат “завершенный”).

Таким образом, ни в одном из трех рассмотренных случаев канторовское рассуждение не может быть признано логически корректным.

В чем же исходная логическая ошибка Г. Кантора? На наш взгляд, она состоит в том, что он попытался обосновать несчетность (неперечислимость) некоторого объекта, доказав (продемонстрировав) лишь его незавершенность к моменту формирования, то есть налицо факт неправомерной идентификации двух разных понятий.

Легко показать и ошибочность канторовского “доказательства несчетности” множества всех подмножеств натуральных чисел.

Обычно в целях “доказательства несчетности” множества всех подмножеств множества натуральных чисел осуществляется следующая последовательность умственных действий.

Предположим, что существует счетная бесконечная последовательность подмножеств множества натуральных чисел (S(i), S(2), ... , S(n)).

Предлагается определить некоторое множество натуральных чисел вида D(L) следующим образом: произвольное натуральное число 1 входит в множество D(L) тогда и только тогда, когда i не содержится в S(i).

Тогда для каждого натурального числа можно установить, принадлежит оно множеству D(L) или нет.

Например, если множество S(3) представляет собой множество всех четных чисел, то число 3 не входит в S(3), а потому входит в D(L).

Далее делается предположение, что S(m) = D(L) для некоторого натурального m.

Тогда получается, что m входит в D(L) тогда и только тогда, когда m не входит в S(m) = D(L).

Это обстоятельство трактуется как противоречие, из которого вытекает, что множество D(L) = S(m) не содержится в списке S(1), ..., S(n). Отсюда делается вывод о “несчетности” множества всех подмножеств множества натуральных чисел.

На самом деле все обстоит несколько иначе.

Как и в рассмотренном выше случае, у нас есть две логические альтернативы.

a) Мы понимаем множество всех подмножеств множества натуральных чисел как множество потенциальное (незавершенное).

Тогда мы не имеем искомого отождествления S(m) = D(L) и т может никогда не войти в D(L), так как формирование последовательностей S(1, 2, ..., К) и D(L) никогда не будет завершено. То есть о “несчетности” потенциального (незавершенного) множества нельзя говорить в принципе.

b) Мы понимаем множество всех подмножеств множества натуральных чисел как множество актуальное (завершенное).

Тогда к моменту начала формирования множества D(L) множество всех подмножеств множества натуральных чисел уже должно было быть сформировано в актуальном (завершенном) виде (иначе неосуществима процедура выбора элементов для D(L)).

Следовательно, все натуральные числа к этому моменту уже должны были быть поставлены во взаимно однозначное соответствие с подмножествами множества натуральных чисел. Но тогда число m не может быть натуральным числом.

Мы имеем дело либо с неполным множеством (на сей раз с множеством натуральных чисел), либо с ненатуральным числом.

Если первое предположение корректно, но ничего не доказывает в смысле “несчетности”, переводя исходное натуральное множество в разряд потенциальных множеств, то второе также корректно, но доказывает нечто противоположное тому, что хотел доказать Г. Кантор.

Действительно, если число m существует, но не является натуральным, оно может быть только трансфинитным, то есть существовать в более “мощном числовом классе”, чем класс натуральных чисел.

В этом случае оно не обязано входить в множество D(L), которое включает в себя только натуральные числа.

Но тогда мы получаем одно интересное заключение: существуют актуально бесконечные счетные множества (“несчетные” множества, как мы выяснили, не существуют), превышающие по своей мощности множество натуральных чисел.

Отсюда непосредственно следует и опровержение принципа взаимно однозначного соответствия (равномощности) различных по способу формирования счетных множеств.

Действительно, если существуют актуально бесконечные счетные множества, превышающие по своей мощности множество натуральных чисел, то нет никаких оснований считать, что равномощны и различные бесконечные последовательности натуральных чисел (например, множество натуральных чисел и множество четных чисел).

Эти заключения (вывод о противоречивости понятия “несчетность” и опровержение принципа “взаимно однозначного соответствия” счетных множеств) и являются краеугольными камнями построения “гармонической арифметики”, концепция оснований которой и излагается ниже.

Подведем предварительный итог. Из вышесказанного следует, что канторовская теория множеств и его арифметика бесконечных множеств неверны в самой сути. Противоречивым оказывается ключевое понятие, на котором держится вся теоретическая конструкция - понятие “несчетности”. Отсюда следует, что противоречивыми являются и все современные аксиоматические системы типа “Principia Mathematica”, содержащие в своем теоретическом арсенале понятие “несчетность” и признающие “диагональную процедуру” как метод доказательства “несчетности континуума”.

Действительно, абсолютно надуманной и не имеющей корректных логических оснований оказывается такая фундаментальная проблема, как “континуум-гипотеза”, рассматриваемая всеми аксиоматическими теориями как логически правомерная.

Рушится вся канторовская иерархия “кардинальных чисел”, построенная исключительно на противопоставлении “счетных” и “несчетных” чисел и полностью продублированная аксиоматическими теориями.

Дезавуируется также идея равномощности (взаимно однозначного соответствия) всех счетных бесконечных множеств (выше мы показали, что множество всех подмножеств натуральных чисел имеет большую мощность, чем множество натуральных множеств, не теряя счетности).

Другими словами, с устранением из теории множеств и арифметики понятия “несчетности”, на месте канторовской теории множеств и современных аксиоматических теорий в части, касающейся актуально бесконечных множеств, не остается ничего (не то чтобы “ничего стоящего”, а “вообще ничего”).

Тем более странно слышать заявления оппонентов, утверждающих, что, может быть, сказанное и затрагивает некоторым образом канторовскую “наивную” теорию множеств, но у аксиоматических теорий все по-прежнему благополучно, они остаются непротиворечивыми.

На самом деле они не просто не остаются непротиворечивыми, а автоматически перестают существовать (слишком многое в них сразу рушится). Можно, конечно, делать вид, что ничего не случилось, но ведь в математике истина доказуема. Рано или поздно придется признать факт нового кризиса оснований.

Таким образом, разработка новой арифметики актуально бесконечных множеств, принципиально отличной от канторовской и проканторовской, сегодня актуальна как никогда.

Ниже мы предлагаем некоторые положения концепции оснований новой “гармонической арифметики”, удовлетворяющей, на наш взгляд, задаче преодоления нового кризиса оснований математики, возникшего в связи с вышеприведенным опровержением понятия “несчетности”.

 

2.1.2. Основные понятия гармонической арифметики

 

Логико-методологической основой гармонической арифметики является построенная автором теория формальных объектов (ТФО), представляющая собой гармонизированное обобщение формальной логики и канторовской теории множеств.

ТФО (в отличие от канторовской теории множеств) рассматривает такие объекты, как системы, множества, единицы (монады) и пустые объекты (меоны), как объекты одного уровня логической общности и различает их между собой (то есть “множество” перестает быть универсальным и предельно общим объектом теории).

ТФО оперирует только конечными и актуально бесконечными объектами и не рассматривает потенциально бесконечные объекты как логически корректные и имеющие статус существования.

ТФО содержит универсальный механизм оперирования формальными объектами, не требующий различения конечных и актуально бесконечных множеств.

ТФО признает только существование счетных (перечислимых) множеств и не признает существования различных по свойствам и способам формирования, но неразличимых по мощности счетных множеств.

Названные свойства ТФО делают ее интеллектуальным инструментом, необходимым и достаточным для построения математики (в частности арифметики), основанной на абстракции счетной актуальной бесконечности.

Примечание. За время, прошедшее с момента первой публикации настоящего доклада (более семи лет), теория формальных объектов (ТФО) была существенно модифицирована автором и переименована в теорию формальных ментальных объектов (ТФМО), став специализированной составной частью теории ментальных объектов (ТМО).

 

 

Гармоническая арифметика - это новый раздел математики, трактующий о конечных и счетных актуально бесконечных числах (их совокупностях), условиях их существования, отношениях и операциях над ними.

Предикат "гармоническая" применяется в названии новой  арифметики на том основании,  что, по мнению автора,  она, во-первых, не содержит противоречий, присущих канторовской арифметике бесконечных множеств, во-вторых, основана на принципиально новом логическом механизме согласования и соизмеримости контрадикторных предикатов применительно к одному и тому же объекту (числу, множеству чисел) и, в-третьих, обладает встроенным механизмом саморазвития, гарантирующим преодоление возможных противоречий в случае их появления.

Конкретной аксиоматической  реализацией общих принципов гармонической арифметики  и  ее  частной  подсистемой,  справедливой только в определенных "экзистенциальных" границах,  является «гармоническая арифметическая система» (ГАС) -  непротиворечивая,  циклически развиваемая арифметическая  система,  элементами  которой являются исключительно актуальные (завершенные) числа (конечные и бесконечные) и их совокупности.

Все ГАС, входящие в гармоническую арифметику, различаются по уровню общности (уровню существования, "экзистенциальности").  Будучи построенной  всецело на абстракции счетной актуальной бесконечности, иерархия ГАС не рассматривает потенциальные (незавершенные)  числа  (их множества) в качестве своих элементов, что  позволяет  устранить амбивалентность и  противоречия  канторовской теории множеств и ее интерпретаций.

С учетом потребности в парадигмальном развитии иерархия ГАС устроена как гносеологически расширяемая система, диалектически, то есть в ней предусмотрен  логически  непротиворечивый  механизм сосуществования абсолютных  и  относительных (производных от первых) понятий в рамках одной теории.

Существенной особенностью иерархии ГАС является универсальность ее операционной системы, независимость (инвариантность) результатов  арифметической  операции от экстенсиональных свойств предметов операции, то есть отсутствие различий между конечными и   бесконечными элементами ГАС (числами и их множествами) в процессе   оперирования ими.

С точки зрения своей структуры каждая ГАС может быть определена как саморазвивающаяся формализованная и упорядоченная иерархия  актуальных  числовых классов (систем),  отличающихся друг от  друга свойствами и составом элементов (видом чисел),  построенная на некотором непрерывно уточняемом  комплексе представлений об абсолютной числовой системе.

Все числовые классы (системы) любой ГАС обладают однотипными  базовыми свойствами, что позволяет дать общее (родовое) определение понятию "числовой класс ГАС".