Базис числового класса

 

С учетом сказанного,  для генерации произвольного  числового класса ГАС необходимо лишь установить его базис (состав).

Базис числового класса  ГАС  - это актуальное бесконечное счетное множество элементов (чисел), принадлежащих данному классу, размерность класса. Базисы всех числовых классов создаются в ГАС с помощью изложенного выше гармонического (аддитивно-мультипликативного или супердедуктивно-супериндуктивного) способа генерации.

Числовое значение базиса числового класса мы будем называть весом числового  класса. Стандартные веса числовых классов в иерархии ГАС играют роль единиц (мер) актуальной бесконечности, в которых могут быть измерены и определены различные актуально бесконечные множества.

Функции единиц бесконечности в ГАС идентичны функциям единиц измерения в любой конечной физической предметной области (например, граммов, килограммов, тонн и т.д.). Для того, чтобы оценить количественную определенность (относительный вес) слитка металла, совсем не обязательно знать количество атомов, находящихся в нем. Достаточно сказать, что его вес равен, к примеру, 2.5 килограмма.

Единицы измерения различных по величине видов актуальной бесконечности (а в пределе - абсолюта) в ГАС жестко субординированы и представляют собой идеальную актуально бесконечную «узловую линию мер» в сходной (хотя и не совпадающей) с гегелевской трактовке.

Важнейшей особенностью ГАС, вытекающей из сказанного, является то обстоятельство, что с весами  актуально бесконечных  множеств в ГАС можно работать также, как с весами конечных множеств в классической  арифметике. Ради этой особенности, собственно,  и разработана ГАС.

Конкретные  ГАС,  формируемые  на основе различных  конечных и актуально бесконечных базисов,  являются моделями  или интерпретациями рассматриваемой общей ГАС.

Вес подкласса положительных чисел каждого числового класса в ГАС равен А² , а вес числового класса в целом  (с учетом веса подкласса отрицательных чисел) равен 2*А², что вытекает из приведенной выше аксиоматики.

Действительно, поскольку в подклассе положительных чисел имеют место соотношения:   а + а + .... + а  = 1     и     1 + 1 + ... + 1  = А,  справедливо также соотношение а + а + ... + а = А; следовательно, с учетом равновесности подклассов отрицательных и положительных чисел, рассматриваемый произвольный числовой класс имеет в точности 2*А ²  элементов (входящих в данный класс чисел).

 

2.1.4. Классификация чисел в гас

 

Классификация чисел, существующих в ГАС, не вполне совпадает с подобной классификацией в классической арифметике, хотя автор и стремился к сохранению преемственности.

В ГАС сохранено классическое деление чисел на  положительные  и отрицательные,  целые и дробные, комплексные, однако прочие основания деления и связанные с ними наименования существенно изменены.

Главным в  ГАС является подразделение чисел и их множеств на конечные и  бесконечные  (и  те  и  другие являются актуальными и   счетными; потенциальных чисел и множеств в  ГАС  не  существует).

Все  последующие деления относятся равным образом как к конечным, так и к бесконечным числам.

Классические "рациональные" числа в ГАС именуются "периодическими". Причем "периодическими" в ГАС могут быть не только дробные,  но и целые числа, поскольку число разрядов в системах счисления, используемых в ГАС, равно как "до", так и "после" запятой.

Например, "периодическим" является число вида: (9),0 = 999...9,0 (девять в периоде, запятая, ноль). Кроме того, периодические числа в ГАС,  в свою очередь, делятся на классы по количеству допустимых периодов. Так, строго различаются двух -,  трех-, ..., n - периодические числа. Это обусловлено возможностью оперирования в ГАС актуально бесконечными числами и  множествами.

Классические "иррациональные" числа именуются в ГАС "непериодическими" (в качестве которых могут, также как и в предшествующем случае, выступать целые числа) и делятся на два дополнительных класса: "упорядоченные" и "неупорядоченные" числа.

"Упорядоченными" числами считаются такие непериодические числа,  которые имеют в своем строении последовательность цифр, задаваемую алгоритмически с помощью некоторой рекуррентной зависимости. Способ задания рекуррентной зависимости применительно к последовательности десятичных значений «упорядоченного числа» ничем не отличается от способов, используемых при генерации последовательностей чисел, и  состоит в указании операций и (или) вычислений, которые необходимо произвести над s независимо заданными непосредственно предшествующими членами последовательности десятичных значений «упорядоченного числа», чтобы получить очередной член последовательности десятичных значений.

Например, к "упорядоченным" непериодическим (рекуррентным) числам относятся числа вида:  1121231234...,0 и 0,101100111000... Существенным  признаком "упорядоченных непериодических чисел" является предсказуемость значений этих чисел до произвольно большого знака до или после запятой.

К «упорядоченным» относятся также непериодические числа, сформированные на основе некоторой рекуррентной зависимости первоначально в какой-либо d-ичной (d - произвольно большое - необязательно конечное - число)  системе счисления и апостериори переведенные в десятичную систему счисления. В такой трактовке большинство иррациональных чисел можно отнести к множеству «упорядоченных», хотя, разумеется и в меньшей степени, чем те числа, при генерации которых использованы хорошо распознаваемые и достаточно простые математические зависимости.

Исходя из этого, упорядоченные непериодические числа, в свою  очередь,  делятся  на "вполне упорядоченные" и "частично упорядоченные" числа и т.д.  - в зависимости от типа и уровня сложности используемой рекуррентной зависимости.

"Неупорядоченными" числами считаются такие непериодические   числа (как целые,  так и дробные),  относительно которых не доказан факт наличия в их основе какой-либо рекуррентной (или иной логически упорядоченной) зависимости. Например, к "неупорядоченным" непериодическим  числам  (до момента доказательства обратного) относятся числа, в классической  арифметике именуемые "алгебраическими" и "трансцендентными".

Кстати говоря, проблема соотношения множеств в разной степени упорядоченных  непериодических чисел в бесконечных числовых множествах со временем может стать одной из наиболее интересных задач теории чисел, имеющих бесконечную область применения в философии (хаос как нераспознанный порядок), в физике (соотношение порядка и хаоса в материальных системах), в искусственном интеллекте (распознавание бесконечных, плохо структуризированных образов и сжатие сверхбольших массивов информации) и т.п.

Названные виды чисел входят в структуру всех числовых классов, принадлежащих ГАС, то есть являются универсальными для любых   типов актуально бесконечных чисел.