Числовой класс гармонической арифметической системы

 

Числовой класс гармонической арифметической системы (счетный  актуальный числовой класс) - подсистема ГАС,  включающая  в  себя актуальное (завершенное конечное или бесконечное) множество чисел  того или иного вида,  систему правил генерации (порождения) чисел  и их множеств,  условий их существования и законов взаимного упорядочения, а также систему операций над элементами ГАС  (операционную систему ГАС).

Основными свойствами  каждого  числового  класса  (локальной числовой подсистемы ГАС) являются следующие:

1. Свойство гармоничности.

Свойство гармоничности  означает,  что  все  контрадикторные объекты и операции ГАС согласованы и соизмеримы между собой, а также, что контрадикторными свойствами может обладать один и тот же объект, рассматриваемый в разных отношениях или (и) в разное время.

2. Свойства актуальности (полноты, завершенности) и счетности (перечислимости) числового класса и его элементов.

Свойство актуальности означает, что все элементы некоторого числового класса (числа и подмножества чисел данного  вида),  а  также  числовой класс в целом рассматриваются как одновременно существующие в завершенном виде объекты сразу после формулирования  условий их существования или определения закона их генерации. Если закон генерации некоторого множества не установлен,  то  оно считается  существующим  только в том случае,  если доказано,    что данное множество является подмножеством другого  множества,  для  которого   таковой имеется. Например, множество простых чисел не имеет явного (позитивного) закона генерации (он пока не установлен), однако оно является подмножеством множества натуральных чисел (у которого таковой имеется), а посему корректно с позиций ТФО и существует в ГАС.

С другой стороны, множество всех множеств не имеет ни закона генерации,  ни упорядоченного объемлющего множества,  а потому не существует в ТФО и в ГАС.

3. Свойство ограниченности (внешней завершенности) числового класса.

Данное свойство,  являющееся следствием свойства 2., означает,  что в каждом числовом  классе, принадлежащем ГАС, имеются минимальное (а) и максимальное (А) числа,  отделяющие данный числовой класс от прочих.

4. Свойство существования единичного элемента и обратимости   числового класса.

Данное свойство означает,  что в каждом числовом классе  ГАС существует единичный элемент - «1», общий для всех числовых классов   ГАС,  такой,  что выполняются соотношения:  а*А=1; а=1/А; А=1/а. То есть числа а и А являются взаимно обратными элементами.

(Здесь и далее "*" - символ операции умножения, "/" - символ операции деления,  "+" - символ операции сложения и "-" -  символ  операции вычитания).

5. Свойство существования нейтрального (нулевого) элемента.

Данное свойство  означает,  что в ГАС существует нейтральный   элемент "0",  не  имеющий  величины и не относящийся ни к положительным, ни к отрицательным числам.

6. Свойство упорядоченности числового класса.

Данное свойство означает, что для любых двух (и более) элементов некоторого числового класса ГАС выполняется в точности одно из соотношений "больше", "меньше", "равно" (свойство линейности) и что справедливы стандартные соотношения, связанные с понятиями "больше" и "меньше" (например, из m > n для любого k, принадлежащего к рассматриваемому числовому классу, следует m+k > n+k).

7. Свойство операбельности.

Данное свойство означает, что каждый элемент некоторого числового класса  ГАС  может   быть предметом любого из ниженазванных  основных арифметических действий : "сложение", "вычитание", "умножение", "деление",  а также действий,  производных от названных.

Упомянутые арифметические операции тождественны арифметическим операциям,  применяемым в конечной арифметике и рассматриваются ниже.

8. Свойство существования и определенности результата операции.

Данное свойство означает, что каждая арифметическая операция, осуществленная  над  элементами некоторого числового класса, за исключением случаев, рассматриваемых ниже, имеет определенный в ГАС результат и смысл, хотя получаемый результат -  не всегда элемент данного числового класса. Например, число 1 + А ( результат сложения единицы (1) и максимального числа класса (А)) представляет собой элемент более высокого,  чем рассматриваемый, класса.

Другими словами, в ГАС выполнимы все стандартные арифметические операции, но они не всегда выполнимы в рамках одного отдельно взятого  числового класса.

9. Свойство определенности веса числового класса.

Данное свойство  означает,  что  каждый числовой класс имеет в рамках ГАС строго определенный  актуально  бесконечный  вес, количественный показатель, являющийся основанием для сравнения данного бесконечного  числового  класса  с   другими.