- •Методи прийняття рішень
- •Розділ 1. Задачі прийняття рішень. Класифікація задач прийняття рішень.
- •1.1. Приклади задач прийняття рішень та їх класифікація.
- •1.2. Невизначеність в задачах прийняття рішень
- •1.3. Теоретико-ігровий підхід до прийняття рішень
- •Висновки
- •Контрольні питання
- •Завдання до розділу 1
- •Розділ 2. Задачі вибору
- •2.1. Поняття бінарного відношення
- •2.2. Способи задавання відношень
- •2.3. Операції над відношеннями
- •2.4. Властивості відношень
- •2.5. Відношення еквівалентності, порядку, домінування та переваги
- •2.6. Поняття r-оптимальності, найкращого, найгіршого, максимального та мінімального елементів
- •2.7. Поняття функції вибору. Класи функцій вибору
- •2.8. Функції корисності
- •Висновки
- •Контрольні питання
- •Завдання до розділу 2
- •Розділ 3 багатокритеріальні задачі оптимізації
- •3.1. Загальна постановка багатокритеріальної задачі оптимізації
- •3.2. Поняття ефективної альтернативи
- •3.3. Теоретичне і практичне значення ефективного рішення.
- •3.4. Властивості ефективних альтернатив і способи їх знаходження.
- •3.5. Загальна проблема пошуку компромісних рішень
- •3.5.1. Принципи рівномірності
- •3.5.2. Принципи справедливої поступки
- •3.5.3. Інші принципи оптимальності
- •3.6. Методи нормалізації критеріїв
- •3.7. Способи урахування пріоритету критеріїв
- •3.7.1. Методи урахування жорсткого пріоритету
- •3.7.2. Методи урахування гнучкого пріоритету
- •3.8. Методи розв’язання багатокритеріальних задач оптимізації
- •3.8.1. Методи зведення до узагальненого критерію (методи згортки)
- •3.8.2. Метод головного критерію
- •3.8.3. Метод послідовних поступок
- •3.9. Поняття рішення задачі багатокритеріальної оптимізації при заданій перевазі
- •3.10. Метод обмежень при пошуку компромісних рішень в задачах векторної оптимізації.
- •3.11. Метод обмежень в багатокритеріальній задачі лінійного програмування
- •Висновки
- •Контрольні запитання
- •Завдання до розділу 3
- •Розділ 4 нечіткі множини та нечіткі відношення
- •4.1. Поняття належності
- •4.2. Визначення нечіткої множини та термінологія
- •4.3. Операції над нечіткими множинами
- •4.4. Відстань між нечіткими підмножинами
- •4.5. Звичайна підмножина, найближча до нечіткої. Індекс нечіткості
- •4.6. Звичайна підмножина - рівня нечіткої множини
- •4.7. Спеціальні операції над нечіткими множинами
- •4.8. Нечіткі відношення
- •4.9. Операції над нечіткими відношеннями
- •4.10. Властивості нечітких відношень
- •4.11. Класифікація нечітких відношень
- •4.12. Відображення нечітких множин. Принцип узагальнення
- •Висновки
- •Контрольні питання
- •Завдання до розділу 4
- •5.2. Задачі нечіткого математичного програмування та їх класифікація
- •5.3. Задачі математичного програмування при нечітких обмеженнях
- •5.3.1. Розв’язок 1, який базується на множинах рівня нечіткої множини обмежень
- •5.3.2. Розв’язок 2 і еквівалентність розв’язків обох типів.
- •5.4. Прийняття рішень при нечіткому відношенні переваги на множині альтернатив
- •5.4.1.Нечіткі відношення переваги. Їх властивості.
- •5.4.2. Нечітка підмножина недомінуємих альтернатив
- •5.4.3. Альтернативи, що чітко не домінуються, та їх властивості
- •5.5. Декілька відношень переваги на множині альтернатив
- •5.6. Відношення переваги на нечіткій множині альтернатив
- •5.7. Прийняття рішень при заданій перевазі на множині ознак
- •Висновки
- •Контрольні питання
- •Завдання до розділу 5
- •Предметний покажчик
- •Список літератури
3.2. Поняття ефективної альтернативи
Розглянемо задачу багатокритеріальної оптимізації (3.1).
В термінах функцій цілі альтернативи х1 і х2 ми можемо порівнювати таким чином:
– альтернатива х1 не гірша за альтернативу х2 (х1 х2), коли
– альтернатива х1 еквівалентна альтернативі х2 (х1 ~ х2), коли
– альтернатива х1 строго переважає альтернативу х2 (х1 > х2), коли
і хоч би одна нерівність виконується як строга.
Вочевидь, що не всяка пара альтернатив може бути порівняна між собою.
П р и к л а д 3.1. Нехай f(x) = (f1(x), f2(x)), причому f1(x) максимізується, а f2(x) мінімізується на дискретній множині X = {x1, x2, x3, x4, x5}, і задана таблиця рішень (табл. 3.1).
Таблиця 3.1.
Значення функції f(x) = (f1(x), f2(x))
|
f1(x) |
f2(x) |
x1 |
7 |
5 |
x2 |
6 |
2 |
x3 |
5 |
4 |
x4 |
6 |
6 |
x5 |
4 |
1 |
У цій задачі , про інші альтернативи взагалі нічого не можна сказати.
О з н а ч е н н я 3.1. Альтернатива х0 називається ефективною, якщо на множині допустимих альтернатив X не існує такої альтернативи х, для якої виконувалися б нерівності
і хоча би одна з них була строгою.
Іншими словами, жодна інша альтернатива не може «поліпшити» значення деякої функції цілі не погіршивши при цьому значення деякої іншої функції цілі.
Тому іноді ефективні альтернативи називають непокращуваними за множиною цілей, або оптимальними за Парето.
Серед множини оптимальних за Парето альтернатив і слід шукати рішення задачі багатокритеріальної оптимізації. Проте яку саме альтернативу потрібно вибрати сказати не можна, необхідно додаткове дослідження.
З визначення ефективних альтернатив витікає, що вони можуть бути незрівняні між собою.
Має місце наступна лема.
Лема 3.1. Дві ефективні альтернативи або еквівалентні, або незрівняні між собою.
Доведення
Якщо х0 – ефективна альтернатива, то для будь-якої альтернативи х, яка порівняна із х0 за множиною функцій цілі або справедливі n рівностей , і тоді х еквівалентна х0, або знайдеться такий індекс , що , якщо , або якщо тоді альтернатива х, не може бути ефективною.
Лему доведено.
Із цієї леми виходить, що якщо ефективна альтернатива одна, то вона дає оптимум кожному критерію.
У разі двох або трьох критеріїв множину ефективних альтернатив можна зобразити графічно. Нехай ми маємо задачу з двома критеріями, кожен з яких максимізується і множина допустимих альтернатив в критеріальному просторі має вигляд, який зображено на рисунку (рис.3.1).
Множина Парето в цьому випадку (для т = 2) є, образно кажучи, північно-східною межею множини допустимих рішень, без тих її частин, які паралельні осям координат або лежать в досить глибоких і крутих провалах.
Рис. 3.1. Множина допустимих рішень та множина Парето
О з н а ч е н н я 3.2. Альтернатива (рішення) називається слабо ефективною, а також слабо оптимальною за Парето, або оптимальною за Слейтером якщо не існує іншої альтернативи (рішення) такої, що
Слабо ефективна альтернатива – це оцінка максимальна за (). Множина ефективних альтернатив максимальна за ().
Всяка ефективна альтернатива є і слабо ефективною, і множина ефективних альтернатив Р(Y) міститься в множині слабо ефективних альтернатив S(Y).
Множина ефективних альтернатив Р(Y) (слабо ефективних альтернатив S(Y)) називається зовнішньо стійкою якщо для будь-якого yY\(P(Y) (yY\S(Y)), знайдеться така оцінка y0 Р(Y) (відповідно y0 S(Y)), що y0 у (y0 у).
Якщо множина Y складається з скінченного числа оцінок, то Р(Y) і S(Y) зовнішньо стійкі. У випадку нескінченної множини Y ця множина може і не бути зовнішньо стійкою. Проте при звичайних для оптимізаційних задач припущеннях (Х – компакт, f – напівнеперервна зверху), ця множина буде зовнішньо стійкою.
Рис. 3. 2. Множина альтернатив оптимальних за Слейтером
П р и к л а д 3.2. Нехай Y – одиничний квадрат з якого «виколота» права верхня вершина (рис. 3.2).
Для такого Y множина Р(Y) вочевидь пуста, а множина S(Y) утворюється правою і верхньою стороною квадрата (без точки (1,1)). Множина S(Y) очевидно зовнішньо стійка, кожній точці уY, в якій у1, у2 1, можна поставити у відповідність, наприклад точку y0 = ((у1 + 1)/2, 1), причому у0 > у.
Означення (слабо) ефективного рішення є статичним в тому сенсі, що ґрунтується на попарному порівнянні рішень і не пов'язується з питанням про те, чи можливо «плавно» перейти від одного рішення до іншого, кращого з позитивною швидкістю збільшуючи кожен критерій.
Можливість такого переходу в деяких моделях є дуже цікавим.
Прикладом є модель чистого обміну, в якому кожен споживач бере участь в обміні прагнучи скласти собі набір товарів найбільшої корисності, тобто максимізувати свою функцію цінності. Такого роду моделі розглядували в XIX столітті Ф. Ешварт і В. Парето. Ефективним в моделі є стан (розподіл товарів між споживачами), який не може бути покращений шляхом перерозподілу товарів між учасниками без «ущемлення інтересів» деяких інших учасників.
Таким чином, оптимальність за Парето відображає ідею економічної рівноваги: якщо стан не є ефективним, то відбуватиметься торгівля, яка приведе до ефективного стану.