- •Методи прийняття рішень
- •Розділ 1. Задачі прийняття рішень. Класифікація задач прийняття рішень.
- •1.1. Приклади задач прийняття рішень та їх класифікація.
- •1.2. Невизначеність в задачах прийняття рішень
- •1.3. Теоретико-ігровий підхід до прийняття рішень
- •Висновки
- •Контрольні питання
- •Завдання до розділу 1
- •Розділ 2. Задачі вибору
- •2.1. Поняття бінарного відношення
- •2.2. Способи задавання відношень
- •2.3. Операції над відношеннями
- •2.4. Властивості відношень
- •2.5. Відношення еквівалентності, порядку, домінування та переваги
- •2.6. Поняття r-оптимальності, найкращого, найгіршого, максимального та мінімального елементів
- •2.7. Поняття функції вибору. Класи функцій вибору
- •2.8. Функції корисності
- •Висновки
- •Контрольні питання
- •Завдання до розділу 2
- •Розділ 3 багатокритеріальні задачі оптимізації
- •3.1. Загальна постановка багатокритеріальної задачі оптимізації
- •3.2. Поняття ефективної альтернативи
- •3.3. Теоретичне і практичне значення ефективного рішення.
- •3.4. Властивості ефективних альтернатив і способи їх знаходження.
- •3.5. Загальна проблема пошуку компромісних рішень
- •3.5.1. Принципи рівномірності
- •3.5.2. Принципи справедливої поступки
- •3.5.3. Інші принципи оптимальності
- •3.6. Методи нормалізації критеріїв
- •3.7. Способи урахування пріоритету критеріїв
- •3.7.1. Методи урахування жорсткого пріоритету
- •3.7.2. Методи урахування гнучкого пріоритету
- •3.8. Методи розв’язання багатокритеріальних задач оптимізації
- •3.8.1. Методи зведення до узагальненого критерію (методи згортки)
- •3.8.2. Метод головного критерію
- •3.8.3. Метод послідовних поступок
- •3.9. Поняття рішення задачі багатокритеріальної оптимізації при заданій перевазі
- •3.10. Метод обмежень при пошуку компромісних рішень в задачах векторної оптимізації.
- •3.11. Метод обмежень в багатокритеріальній задачі лінійного програмування
- •Висновки
- •Контрольні запитання
- •Завдання до розділу 3
- •Розділ 4 нечіткі множини та нечіткі відношення
- •4.1. Поняття належності
- •4.2. Визначення нечіткої множини та термінологія
- •4.3. Операції над нечіткими множинами
- •4.4. Відстань між нечіткими підмножинами
- •4.5. Звичайна підмножина, найближча до нечіткої. Індекс нечіткості
- •4.6. Звичайна підмножина - рівня нечіткої множини
- •4.7. Спеціальні операції над нечіткими множинами
- •4.8. Нечіткі відношення
- •4.9. Операції над нечіткими відношеннями
- •4.10. Властивості нечітких відношень
- •4.11. Класифікація нечітких відношень
- •4.12. Відображення нечітких множин. Принцип узагальнення
- •Висновки
- •Контрольні питання
- •Завдання до розділу 4
- •5.2. Задачі нечіткого математичного програмування та їх класифікація
- •5.3. Задачі математичного програмування при нечітких обмеженнях
- •5.3.1. Розв’язок 1, який базується на множинах рівня нечіткої множини обмежень
- •5.3.2. Розв’язок 2 і еквівалентність розв’язків обох типів.
- •5.4. Прийняття рішень при нечіткому відношенні переваги на множині альтернатив
- •5.4.1.Нечіткі відношення переваги. Їх властивості.
- •5.4.2. Нечітка підмножина недомінуємих альтернатив
- •5.4.3. Альтернативи, що чітко не домінуються, та їх властивості
- •5.5. Декілька відношень переваги на множині альтернатив
- •5.6. Відношення переваги на нечіткій множині альтернатив
- •5.7. Прийняття рішень при заданій перевазі на множині ознак
- •Висновки
- •Контрольні питання
- •Завдання до розділу 5
- •Предметний покажчик
- •Список літератури
4.4. Відстань між нечіткими підмножинами
Відстань Хеммінга. Спочатку згадаємо поняття відстані Хеммінга для звичайних підмножин.
Нехай A і B дві звичайні підмножини скінченої множини ,
,
.
Під відстанню Хеммінга між A та B розуміють величину:
. (4.17)
Для нашого прикладу маємо
.
Відстань Хеммінга задовольняє всім аксіомам відстані, а саме:
-
,
-
,
-
,
-
.
З а в д а н н я. Перевірити виконання цих аксіом для відстані Хеммінга.
Для скінченої множини E потужність якої m(E) = n (тобто n – число елементів множини E) визначимо також відносну відстань Хеммінгу
. (4.18)
Для підмножин A та B, що подані вище, маємо .
Очевидно, що завжди 0 (A, B) 1.
Узагальнення поняття “відстань Хеммінга».
Розглянемо тепер три нечіткі підмножини A, B, C E, E скінченна множина потужності n.
(4.19)
(4.20)
(4.21)
Припустимо, що ми визначили відстань D(ai, bi) між ai та bi для всіх , а також для (bi, ci) та (ai, ci). Для цих відстаней будуть вірні нерівності [4]
(4.22)
Крім того, ми можемо записати
(4.23)
та
. (4.24)
Ці дві формули дають дві оцінки відстані між підмножинами: (4.23) дає лінійну оцінку, (4.24) квадратичну.
Розглянемо випадок, коли функції належності нечітких підмножин приймають свої значення в [0,1], тобто, коли в (4.19) – (4.21) величини ai, bi, ci [0,1], i = 1, 2, … n.
Нехай . Визначимо два типи відстаней.
О з н а ч е н н я 4.10. Узагальнена відстань Хеммінга або лінійна відстань визначається за формулою:
. (4.25)
Очевидно, що
0 d(A, B) n. (4.26)
О з н а ч е н н я 4.11. Евклідова або квадратична відстань визначається за такою формулою
. (4.27)
Для квадратичної відстані маємо
. (4.28)
Визначимо також відносні відстані.
Узагальнена відносна відстань Хеммінга:
, (4.29)
для цієї відстані вірно .
Відносна евклідова відстань
, (4.30)
.
Вибір тієї чи іншої відстані залежить від природи проблеми, яка розглядається. Кожна з цих відстаней має свої переваги та недоліки, які становляться певними при застосуваннях. Очевидно, що можна придумати і інші відстані.
П р и к л а д 4.19. Визначити відстань між нечіткими множинами
, .
Розв’язування
d(A, B) = 0,7 – 0,2 + 0,2 – 0 + 0 – 0 + 0,6 – 0,6 + 0,5 – 0,8 + 1 – 0,4 +
+ 0 – 1 = 0,5 + 0,2 + 0,3 + 0,6 + 1 = 2,6.
=,
e(A,B)=1,32 ,
.
Відстані d(A, B), e(A, B) можуть бути визначені і у випадку, коли універсальна множина нескінченна (лічена або ні), якщо відповідні суми та інтеграли збігаються. Якщо E лічена, маємо
, (4.31),
, (4.32),
якщо ці ряди збігаються.
Якщо E = R, то
, (4.33)
і
, (4.34)
якщо інтеграли збігаються.
У випадку, коли обмежена зверху та знизу, відповідні інтеграли завжди збігаються і d(A, B) та e(A, B) скінченні. Тоді можна також визначити і відносні відстані
, (4.35)
, (4.36)
де і .
Геометрична інтерпретація поняття відстані між нечіткими множинами A та B. Нехай нечіткі множини A та B є підмножинами універсальної множини , та їх функції належності та зображені на рис. 4.10. Тоді лінійна відстань – це площа заштрихованої фігури, що обмежена лініями та .
Рис. 4.10. Геометрична інтерпретація лінійної відстані