- •Методи прийняття рішень
- •Розділ 1. Задачі прийняття рішень. Класифікація задач прийняття рішень.
- •1.1. Приклади задач прийняття рішень та їх класифікація.
- •1.2. Невизначеність в задачах прийняття рішень
- •1.3. Теоретико-ігровий підхід до прийняття рішень
- •Висновки
- •Контрольні питання
- •Завдання до розділу 1
- •Розділ 2. Задачі вибору
- •2.1. Поняття бінарного відношення
- •2.2. Способи задавання відношень
- •2.3. Операції над відношеннями
- •2.4. Властивості відношень
- •2.5. Відношення еквівалентності, порядку, домінування та переваги
- •2.6. Поняття r-оптимальності, найкращого, найгіршого, максимального та мінімального елементів
- •2.7. Поняття функції вибору. Класи функцій вибору
- •2.8. Функції корисності
- •Висновки
- •Контрольні питання
- •Завдання до розділу 2
- •Розділ 3 багатокритеріальні задачі оптимізації
- •3.1. Загальна постановка багатокритеріальної задачі оптимізації
- •3.2. Поняття ефективної альтернативи
- •3.3. Теоретичне і практичне значення ефективного рішення.
- •3.4. Властивості ефективних альтернатив і способи їх знаходження.
- •3.5. Загальна проблема пошуку компромісних рішень
- •3.5.1. Принципи рівномірності
- •3.5.2. Принципи справедливої поступки
- •3.5.3. Інші принципи оптимальності
- •3.6. Методи нормалізації критеріїв
- •3.7. Способи урахування пріоритету критеріїв
- •3.7.1. Методи урахування жорсткого пріоритету
- •3.7.2. Методи урахування гнучкого пріоритету
- •3.8. Методи розв’язання багатокритеріальних задач оптимізації
- •3.8.1. Методи зведення до узагальненого критерію (методи згортки)
- •3.8.2. Метод головного критерію
- •3.8.3. Метод послідовних поступок
- •3.9. Поняття рішення задачі багатокритеріальної оптимізації при заданій перевазі
- •3.10. Метод обмежень при пошуку компромісних рішень в задачах векторної оптимізації.
- •3.11. Метод обмежень в багатокритеріальній задачі лінійного програмування
- •Висновки
- •Контрольні запитання
- •Завдання до розділу 3
- •Розділ 4 нечіткі множини та нечіткі відношення
- •4.1. Поняття належності
- •4.2. Визначення нечіткої множини та термінологія
- •4.3. Операції над нечіткими множинами
- •4.4. Відстань між нечіткими підмножинами
- •4.5. Звичайна підмножина, найближча до нечіткої. Індекс нечіткості
- •4.6. Звичайна підмножина - рівня нечіткої множини
- •4.7. Спеціальні операції над нечіткими множинами
- •4.8. Нечіткі відношення
- •4.9. Операції над нечіткими відношеннями
- •4.10. Властивості нечітких відношень
- •4.11. Класифікація нечітких відношень
- •4.12. Відображення нечітких множин. Принцип узагальнення
- •Висновки
- •Контрольні питання
- •Завдання до розділу 4
- •5.2. Задачі нечіткого математичного програмування та їх класифікація
- •5.3. Задачі математичного програмування при нечітких обмеженнях
- •5.3.1. Розв’язок 1, який базується на множинах рівня нечіткої множини обмежень
- •5.3.2. Розв’язок 2 і еквівалентність розв’язків обох типів.
- •5.4. Прийняття рішень при нечіткому відношенні переваги на множині альтернатив
- •5.4.1.Нечіткі відношення переваги. Їх властивості.
- •5.4.2. Нечітка підмножина недомінуємих альтернатив
- •5.4.3. Альтернативи, що чітко не домінуються, та їх властивості
- •5.5. Декілька відношень переваги на множині альтернатив
- •5.6. Відношення переваги на нечіткій множині альтернатив
- •5.7. Прийняття рішень при заданій перевазі на множині ознак
- •Висновки
- •Контрольні питання
- •Завдання до розділу 5
- •Предметний покажчик
- •Список літератури
5.4.3. Альтернативи, що чітко не домінуються, та їх властивості
У цьому розділі ми розглядаємо задачі, у яких множина альтернатив, що недомінуються є нормальною нечіткою підмножиною X, тобто функція належності цієї підмножини має властивість
(5.26)
У цьому випадку для нашої альтернативи з множини максимальних недомінуємих альтернатив виконано тобто міра недомінуємості для кожної такої альтернативи дорівнює 1.
Іншими словами, для кожної і будь-якої при цьому виконується рівність тобто жодна альтернатива не домінує з позитивним ступенем подану альтернативу x.
Тому ці альтернативи ми будемо називати чітко недомінуємими, й множину таких альтернатив позначимо X ЧНД. Таким чином
Х ЧНД. (5.27)
Як випливає з визначення множини ХЧНД та , для кожної чітко недомінованої альтернативи виконується рівність
Х ЧНД , (5.28)
де – нечітке відношення строгої переваги, що відповідає . Звідси можна зробити висновок, що для будь-яких Х ЧНД виконується
. (5.29)
Із визначення випливає, що рівність (5.29) еквівалентна рівності
,
але тоді
,
тобто будь-які дві альтернативи, що чітко недомінуюються пов'язані відношенням байдужості зі ступенем не меншим за 0,5. За визначенням нечіткого відношення отримуємо
Х ЧНД . (5.30)
При довільних нечітких відношеннях переваги може виявитися, що , при Х ЧНД, тобто альтернативи можуть не бути еквівалентними ні з якою позитивною мірою. Зауважимо, що в цьому випадку , тобто та не зрівняні мiж собою. Однак це не має місця, якщо лінійне відношення.
5.5. Декілька відношень переваги на множині альтернатив
Розглянемо таку задачу. Нехай задана множина альтернатив X і кожна альтернатива характеризується декількома ознаками з номерами Інформація про попарне порівняння альтернатив подана у вигляді відношень переваги , Таким чином, ми маємо m відношень переваги на множині X. Задача полягає в тому, щоб за даною інформацією зробити раціональний вибір альтернатив з множини
Звернемося спочатку до ситуації, коли відношення описуються числовими функціями корисності де – числова вісь. Значення функції можна вважати числовою оцінкою альтернативи за ознакою j, . Перевага за ознакою j віддається альтернативі з більш високою оцінкою . Задача полягає в тому, щоб вибрати альтернативу, яка має якомога більші оцінки за всіма ознаками. Раціональними в цьому випадку природно вважати вибір альтернативи , яка має таку властивість:
якщо , то . (5.31)
Такі альтернативи у багатокритеріальній оптимізації звуться ефективними.
Легко бачити, що кожна функція , описує звичайне відношення переваги на множині альтернатив таким чином
(5.32)
Hехай Покажемо, що множина всіх ефективних (недомінуємих) альтернатив у множині співпадає з множиною ефективних альтернатив для набору функцій
Hехай – альтернатива, що не домінується в множині . Це означає, що для будь-якого виконується
(5.33)
де – відповідне до відношення строгої переваги, воно має вигляд
. (5.34)
Звідси і з (5.33) отримуємо (5.31), тобто – ефективна альтернатива для функції
Можна показати і зворотне, тобто, що будь-яка альтернатива для функцій не домінується у множині . Таким чином, для того, щоб знайти множину ефективних альтернатив, можна замість набору відношень , взяти переріз цих відношень i знайти множину недомінуємих альтернатив в множині . Запишемо тепер переріз відношень у іншому вигляді.
Hехай
(5.35)
– функція належності . Тоді перерізу цих відношень відповідає функція належності
, (5.36)
яка є аналогом згортки критеріїв у багатокритеріальних задачах прийняття рішень. Тут числа – коефіцієнти відносної важливості критеріїв. У згортці (5.36) що відповідає тому, що всі подані відношення однаково важливо враховувати при виборі альтернатив. Якщо подані відношення відрізняються лише за важливістю відповідних ознак, за якими порівнюються альтернативи, то у згортці (5.36) можна використовувати різні за величиною коефіцієнти . При цьому вихідні відношення ми повинні розглядати, як нечіткі, тобто в визначенні функції належності (5.35) числа 0 та 1 необхідно розуміти, як крайні точки одиничного інтервалу можливих значень степені належності.
У результаті згортки вихідних відношень з коефіцієнтами такими, що отримуємо функцію належності, що має вигляд
, (5.37)
тобто функцію належності нечіткого відношення переваги. Але це відношення не буде рефлексивним, це означає, що воно не є відношенням переваги у сенсі визначення пункту, і цю згортку незручно застосовувати, коли необхідно враховувати вагу поданих відношень.
Тому введемо тепер згортку вихідних відношень іншого вигляду.
. (5.38)
Зауважимо, що отримане після згортки (5.38) звичайних відношень нечітке відношення буде рефлексивним, тому що рефлексивними є вихідні відношення.
Нехай усі вихідні відношення переваги однакові за важливістю. У (5.38) це відповідає тому, що Визначимо підмножину альтернатив, що не домінуються на множині , використовуючи визначення пункту 5.4.2.
(5.39)
Позначимо Х1ЧНД підмножину чітко недомінуємих альтернатив у множині , а Х2ЧНД – відповідна підмножина в . Покажемо, що Х2ЧНД Х1ЧНД Дійсно, нехай Х2ЧНД . Згідно з визначенням чітко недомінуємої альтернативи та (5.39) це означає, що
або
(5.40)
для будь-яких Припустимо, що Х1ЧНД Тоді, відповідно (5.31) і (5.35) отримаємо, що знайдеться такий , що і для деякого виконується Але тоді для альтернативи y не вірно (5.51). Звідти отримуємо, що Х1ЧНД , тобто Х2ЧНД Х1ЧНД
З а у в а ж е н н я. Множина Х2ЧНД не включає в себе всі ефективні альтернативи для функцій , тобто не співпадає з множиною Х1ЧНД, але можна показати, що кожна ефективна альтернатива, тобто кожний елемент Х1 ЧНД належить до множини з позитивним ступенем,
Х1ЧНД .
Дійсно, якщо для будь-якої альтернативи виконано , то з (5.39) отримуємо, що відшукається для якого
тобто i для всiх j = 1, … , m. Це означає, що альтернатива у домінує альтернативу х, тобто , j = 1, ... , m й очевидно х не може бути ефективною альтернативою для набору функції .
Функція впорядковує альтернативи за ступенем їх недомінуємості. Наприклад, якщо і яка-небудь альтернатива строго краще альтернативи х за якими-небудь двома ознаками, то не менш чим за однією ознакою із тих, що залишилися альтернатива х строго переважає альтернативу у.
Якщо взяти переріз множин Х1ЧНД й , то отримаємо відповідне впорядкування на множині ефективних альтернатив, користуючись яким можна здійснити вибір серед них.
Таким чином, застосування згортки (5.38) вихідних звичайних відношень у задачі прийняття рішень на наборі функцій дозволяє одержати додаткову інформацію про відносний степінь недомінуємості ефективних альтернатив і тим звузити клас раціональних виборів до множини
У загальній задачі, коли на множині альтернатив задано m нечітких відношень переваги , j = 1, ... , m і задано коефіцієнти , j = 1, ... , m відносної ваги цих відношень, можна діяти таким же чином.
Сформулюємо алгоритм вибору при декількох заданих на множині альтернатив відношеннях переваги.
-
Будуємо нечітке відношення (переріз вихідних відношень):
.
та визначаємо нечітку підмножину недомінуємих альтернатив в множині :
.
-
Будується нечітке відношення Q2 (згортка відношень типу (5.38)):
.
і визначаємо нечітку підмножину недомінуємих альтернатив у множині :
.
-
Знаходимо переріз множин та : .
-
Раціональним вважаємо вибори альтернатив із множини
.
Тут слід зауважити, що залежно від типу задачі, раціональними можна вважати не тільки альтернативи з множини Х.Н.Д., але в тому чи іншому сенсі й слабко домінуємі альтернативи (або не дуже сильно домінуємі альтернативи), тобто альтернативи, які належать до множини .н.д. зі ступенем не нижчим деякого поданого.
П р и к л а д 5.6. Нехай , на Х подані три відношення переваги (чіткі), що мають однакову вагу.
Здійснити раціональний вибір альтернативи з Х на основі поданих відношень переваги.
Розв’язування
Оскільки відношення переваги мають однакову вагу коефіцієнти , j = 1, ... , m відносної ваги приймемо рівними .
-
Будуємо відношення
Знаходимо відношення строгої переваги
і знаходимо підмножину альтернатив, що недомінуються в множині
.
-
Будуємо відношення :
,
відповідне йому відношення строгої переваги:
,
Знаходимо підмножину альтернатив, що недомінуються у множині
.
-
Множина недомінуємих альтернатив є переріз множин та
.
Звідсіля одержуємо, що у поданому прикладі раціональним слід вважати вибір альтернативи х1 та х2, які мають максимальний степінь недомінуємості.
П р и к л а д 5.7. Нехай на множині подано два нечіткі відношення переваги R1 та R2, причому перше з цих відношень має вагу вдвічі більшу за друге.
,
Здійснити раціональний вибір альтернативи з Х на основі поданих відношень переваги.
Розв’язування
-
Будуємо відношення
відповідне йому відношення строгої переваги:
,
й знаходимо підмножину недомінуємих альтернатив в множині
.
-
Будуємо відношення
,
відповідне відношення строгої переваги:
.
і знаходимо підмножину недомінуємих альтернатив у множині
.
Вихідна множина недомінуємих альтернатив
.
Максимальну степінь недомінуємості має альтернатива х2, тому вибір її можна вважати раціональним.