- •Методи прийняття рішень
- •Розділ 1. Задачі прийняття рішень. Класифікація задач прийняття рішень.
- •1.1. Приклади задач прийняття рішень та їх класифікація.
- •1.2. Невизначеність в задачах прийняття рішень
- •1.3. Теоретико-ігровий підхід до прийняття рішень
- •Висновки
- •Контрольні питання
- •Завдання до розділу 1
- •Розділ 2. Задачі вибору
- •2.1. Поняття бінарного відношення
- •2.2. Способи задавання відношень
- •2.3. Операції над відношеннями
- •2.4. Властивості відношень
- •2.5. Відношення еквівалентності, порядку, домінування та переваги
- •2.6. Поняття r-оптимальності, найкращого, найгіршого, максимального та мінімального елементів
- •2.7. Поняття функції вибору. Класи функцій вибору
- •2.8. Функції корисності
- •Висновки
- •Контрольні питання
- •Завдання до розділу 2
- •Розділ 3 багатокритеріальні задачі оптимізації
- •3.1. Загальна постановка багатокритеріальної задачі оптимізації
- •3.2. Поняття ефективної альтернативи
- •3.3. Теоретичне і практичне значення ефективного рішення.
- •3.4. Властивості ефективних альтернатив і способи їх знаходження.
- •3.5. Загальна проблема пошуку компромісних рішень
- •3.5.1. Принципи рівномірності
- •3.5.2. Принципи справедливої поступки
- •3.5.3. Інші принципи оптимальності
- •3.6. Методи нормалізації критеріїв
- •3.7. Способи урахування пріоритету критеріїв
- •3.7.1. Методи урахування жорсткого пріоритету
- •3.7.2. Методи урахування гнучкого пріоритету
- •3.8. Методи розв’язання багатокритеріальних задач оптимізації
- •3.8.1. Методи зведення до узагальненого критерію (методи згортки)
- •3.8.2. Метод головного критерію
- •3.8.3. Метод послідовних поступок
- •3.9. Поняття рішення задачі багатокритеріальної оптимізації при заданій перевазі
- •3.10. Метод обмежень при пошуку компромісних рішень в задачах векторної оптимізації.
- •3.11. Метод обмежень в багатокритеріальній задачі лінійного програмування
- •Висновки
- •Контрольні запитання
- •Завдання до розділу 3
- •Розділ 4 нечіткі множини та нечіткі відношення
- •4.1. Поняття належності
- •4.2. Визначення нечіткої множини та термінологія
- •4.3. Операції над нечіткими множинами
- •4.4. Відстань між нечіткими підмножинами
- •4.5. Звичайна підмножина, найближча до нечіткої. Індекс нечіткості
- •4.6. Звичайна підмножина - рівня нечіткої множини
- •4.7. Спеціальні операції над нечіткими множинами
- •4.8. Нечіткі відношення
- •4.9. Операції над нечіткими відношеннями
- •4.10. Властивості нечітких відношень
- •4.11. Класифікація нечітких відношень
- •4.12. Відображення нечітких множин. Принцип узагальнення
- •Висновки
- •Контрольні питання
- •Завдання до розділу 4
- •5.2. Задачі нечіткого математичного програмування та їх класифікація
- •5.3. Задачі математичного програмування при нечітких обмеженнях
- •5.3.1. Розв’язок 1, який базується на множинах рівня нечіткої множини обмежень
- •5.3.2. Розв’язок 2 і еквівалентність розв’язків обох типів.
- •5.4. Прийняття рішень при нечіткому відношенні переваги на множині альтернатив
- •5.4.1.Нечіткі відношення переваги. Їх властивості.
- •5.4.2. Нечітка підмножина недомінуємих альтернатив
- •5.4.3. Альтернативи, що чітко не домінуються, та їх властивості
- •5.5. Декілька відношень переваги на множині альтернатив
- •5.6. Відношення переваги на нечіткій множині альтернатив
- •5.7. Прийняття рішень при заданій перевазі на множині ознак
- •Висновки
- •Контрольні питання
- •Завдання до розділу 5
- •Предметний покажчик
- •Список літератури
4.9. Операції над нечіткими відношеннями
Розглянемо тепер операції над нечіткими відношеннями. Деякі з них є аналогом відповідних операцій для звичайних відношень, але є ще операції, які притаманні лише нечітким відношенням. Зауважимо, також, що операції «об’єднання» та «переріз» нечітких відношень можна так само, як і у випадку нечітких множин визначити декількома способами.
О з н а ч е н н я 4.19. Нехай на множині Х подано два нечітких відношення А та В, тобто у декартовому добутку Х2 подано дві нечіткі підмножини А та В. Нечіткі множини та назвемо відповідно перерізом та об’єднанням нечітких відношень А та В на множині Х.
П р и к л а д 4.34. Відношення А та В подано у вигляді:
, .
Знайдемо переріз та об’єднання цих відношень за означеннями 4.6, 4.7:
, .
О з н а ч е н н я 4.20. Нечітке відношення В включає до себе нечітке відношення А, якщо для нечітких множин В та А виконується тобто
, .
У розглянутому прикладі 4.32 відношення включає до себе >>.
О з н а ч е н н я 4.21. Якщо R – нечітке відношення на множині Х, то нечітке відношення з функцією належності назвемо доповненням у Х відношення R.
Наприклад, для нечіткого відношення «краще», його доповнення – «не краще». Зворотне до R нечітке відношення на множині Х визначається таким чином:
, ,
або за допомогою функції належності , .
На відміну від звичайних відношень добуток (або композицію) нечітких відношень можна визначити багатьма способами.
Приведемо деякі з можливих визначень цієї операції.
О з н а ч е н н я 4.22. Максимінний добуток нечітких відношень А та В на множині Х визначається такою функцією належності:
.
У випадку скінченної множини Х матриця нечіткого відношення R дорівнює максимінному добутку матриць відношень А та В.
О з н а ч е н н я 4.23. Мінімаксний добуток нечітких відношень А та В на Х буде нечітке відношення з функцією належності:
.
О з н а ч е н н я 4.24. Максмультиплікативний добуток нечітких відношень А та В визначається функцією належності виду:
.
П р и к л а д 4.34. Нехай задані нечіткі відношення А та В.
, .
Знайдемо композиції відношень А та В за означеннями 4.22 – 4.24. Маємо:
max min – композиція:
,
min max – композиція:
,
max - композиція:
.
4.10. Властивості нечітких відношень
Розглянемо тепер властивості нечітких відношень.
О з н а ч е н н я 4.25. Нечітке відношення R на множині Х називається рефлексивним, якщо для будь-якого виконується .
Якщо множина Х – скінченна, головна діагональ матриці рефлексивного нечіткого відношення включає самі одиниці.
Приклад рефлексивного відношення – відношення «приблизно дорівнює» на множині чисел.
О з н а ч е н н я 4.26. Нечітке відношення R буде антирефлексивним, якщо для .
Доповнення рефлексивного відношення антирефлексивно. Прикладом антирефлекстивного відношення на множині чисел може бути відношення «значно більше».
О з н а ч е н н я 4.27. Нечітке відношення R на множині Х називається симетричним, якщо для будь-яких виконується .
Матриця симетричного нечіткого відношення, поданого у скінченній множині, симетрична. Приклад такого відношення – відношення «сильно відрізнятися за величиною».
О з н а ч е н н я 4.28. Відношення R на множині Х буде асиметричним, якщо воно має таку властивість:
або ,
іншими словами:
.
Асиметричним є відношення «значно більше».
О з н а ч е н н я 4.29. Відношення R на множині Х буде антисиметричним, якщо
О з н а ч е н н я 4.30. Нечітке відношення R на множині Х називається транзитивним, якщо
Очевидно, властивість транзитивності залежить від способу визначення добутку відношень. Згідно з введеними раніше визначеннями ми можемо ввести три види транзитивності: max min‑транзитивність, min max‑транзитивність, max‑‑транзитивність.
Легко побачити, що R2max- R2maxmin. Отже, з max min‑транзитивності випливає max-транзитивність. Прикладом max min- транзитивного відношення може бути відношення «значно більше» на множині чисел.
П р и к л а д 4.35. Перевірити транзитивність нечіткого відношення, що має вигляд
.
Розв’язування
Знайдемо композиції .
отже нечітке відношення R є max min‑транзитивним й max--транзитивним. Перевіримо min max‑транзитивність.
R2 min max.
отже відношення R не є min max‑транзитивним.
О з н а ч е н н я 4.31. Транзитивним замиканням нечіткого відношення R буде нечітке відношення таке, що
При визначенні транзитивного замикання необхідно визначити тип операції добутку відношень.
Має місце така теорема.
Т е о р е м а 4.2. Транзитивне замикання будь-якого бінарного відношення R є транзитивним бінарним відношенням і це найменше транзитивне відношення, що включає до себе R.
Зауважимо, що -рівень транзитивного замикання нечіткого відношення співпадає з транзитивним замиканням відповідного -рівня.
Приведемо формулювання двох теорем, які дозволяють побудувати транзитивне замикання у деяких випадках.
Т е о р е м а 4.3. Якщо існує таке k, що , то
.
Т е о р е м а 4.4. Нехай R – подане нечітке відношення на скінченній множині E і m(E) = n. Тоді або існує таке , що
П р и к л а д 4.36. Побудуємо транзитивне (max min) замикання відношення R, якщо
.
Для цього обчислимо послідовно R2, R3.
, .
Отримуємо, що отже
.