4.2.3. Перевод чисел в десятичную систему счисления

Для перевода чисел из произвольной позиционной системы счисления с основанием q в десятичную систему счисления необходимо представить искомое десятичное число в форме многочлена. Многочлен представляет собой сумму n + 1 + m слагаемых, где n + 1 – количество разрядов в целой части исходного числа, m – количество разрядов в дробной части исходного числа:

.

Каждое слагаемое многочлена соответствует одному из разрядов исходного числа и равно весу цифры этого разряда. Слагаемое является произведением двух сомножителей. Первый сомножитель – десятичное число – равно собственному весу цифры соответствующего разряда. Второй сомножитель является степенью с основанием равным основанию системы счисления q и показателем, равным номеру разряда.

Пример 4.5. Дано двоичное число N₂ = 1010100.01₂. Выполнить перевод числа в десятичную систему счисления:

1010100₂ = 1∙2⁶ + 0∙2⁵ + 1∙2⁴ + 0∙2³ + 1∙2² + 0∙2¹ + 0^.2⁰ + 0∙2^-1 + 1∙2^-2 =

= 64 + 0 + 16 + + 0 + 4 + 0 + 0 + 0 + 0.25 = 84.25₁₀.

Пример 4.6. Дано восьмеричное число N₈ = 7020354₈. Выполнить перевод числа в десятичную систему счисления:

7020354.111₈ = 7∙8⁶ + 0∙8⁵ + 2∙8⁴ + 0∙8³ + 3∙8² + 5∙8¹ + 4∙8⁰ + 1∙8^-1 + 1∙8^-2 + 1∙8^-3=

= 1835008 + 0 + 8192 + 0 + 256 + 40 +4 + 0.125 + 0.015625 + 0.001953125 =

= 1843500.142578125₁₀.

Пример 4.7. Дано шестнадцатеричное число N₁₆ = cf4₁₆. Выполнить перевод числа в десятичную систему счисления:

cf4.11₁₆ = 12∙16² + 15∙16¹ + 4∙16⁰ + 15∙16^-1 + 4∙16^-2 =

= 3072 + 240 + 4 + 0.0625 + 0.00390625 = 3316.06640625₁₀.

4.2.4. Перевод целых чисел из десятичной системы счисления в систему счисления с основанием q

Для перевода целых чисел из десятичной системы счисления в систему счисления с основанием q исходное число необходимо разделить на основание системы счисления q. При этом будет получено частное (целое число) и остаток от деления (целое число). На следующем шаге алгоритма необходимо полученное частное разделить на основание системы счисления. Будет получено очередное частное и остаток. Деление проводится до тех пор, пока очередное частное не окажется строго меньше основания системы счисления q. Запишем искомое число. Цифре старшего разряда будет соответствовать частное последнего деления. Цифре следующего разряда  остаток последнего деления. Цифре следующего разряда  остаток предпоследнего деления и т.д., цифре младшего разряда будет соответствовать остаток первого деления.

Пример 4.8. Дано десятичное число N₁₀ = 41. Выполнить перевод числа в двоичную систему счисления (в скобках указан остаток от деления):

1) 41 : 2 = 20 (1), 20 > 2;

2) 20 : 2 = 10 (0), 10 > 2;

3) 10 : 2 = 5 (0), 5 > 2;

4) 5 : 2 = 2 (1), 2 > 2;

5) 2 : 2 = 1 (0), 1 < 2 – конец перевода.

Запишем искомое число: 41₁₀ = 101001₂.

Пример 4.9. Дано десятичное число N₁₀ = 141. Выполнить перевод этого числа в восьмеричную систему счисления (в скобках указан остаток от деления):

1) 141 : 8 = 17 (5), 17 > 8;

2) 17 : 8 = 2 (1), 2 < 8 – конец перевода.

Запишем искомое число: 141₁₀ = 215₈.

Пример 4.10. Дано десятичное число N₁₀ = 541. Выполнить перевод этого числа в шестнадцатеричную систему счисления (в скобках указан остаток от деления):

1) 541 : 16 = 33 (13), 33 > 16;

2) 33 : 16 = 2 (1), 2 < 16 – конец перевода.

Запишем искомое число: 541₁₀ = 21d₁₆.

Вопросы

1. Понятие системы счисления.

2. Значение числа и его запись.

3. Позиционные и непозиционные системы счисления.

4. Представление чисел в позиционной системе счисления.

5. Представление с фиксированной точкой.

6. Понятие 2-й, 8-й, 16-й системы счисления.

7. Перевод чисел из 2-й системы счисления в 8-ю и 16-ю.

8. Перевод чисел из 16-й системы в 8-ю и 2-ю.

9. Перевод из 2-й 8-й и 16-й систем счисления в 10-ю систему счисления.

10. Перевод целых чисел из десятичной системы счисления в 2-ю систему счисления.