Состоятельность критерия

Разумным требованием к критерию согласия является его состоятельность.

Определение.

Критерий объема называется состоятельным , если , для любой фиксированной простой альтернативы из

Очевидно, что критерий знаков не является состоятельным, потому что распределение расстояния одно и тоже для любой простой гипотезы с и, следовательно, для всех таких альтернатив

Критерий Колмогорова

Рассмотрим расстояние

Это расстояние называется расстояние Колмогорова. Основанный на нем критерий называется критерием Колмогорова и используется, если функция распределения - непрерывна.

Состоятельность критерия Колмогорова и возможность рассчитать (асимптотически) распределение расстояния обеспечивается теоремой Колмогорова.

Действительно, если_,

то для того чтобы обеспечить фиксированный объем расстояние должно при гипотезе стремиться к нулю по вероятности и, следовательно, стремится к нулю величина Далее, расстояние к нулю не стремится и критерий является состоятельным.

Замечательным свойством критерия Колмогорова является независимость распределения расстояния от вида (непрерывной) функции распределения .

Критерий хи-квадрат

Для проверки согласия данных с гипотезой в общей выборочной модели используется критерий хи-квадрат. Для этого множество элементарных исходов необходимо разбить на непересекающихся частей и вычислить следующие величины

_{Критическое множество критерия хи-квадрат выглядит так}

Для расчета величины при больших используется следующая теорема (без доказательства)

_{Теорема.}

Напомним , что распределение называется распределением хи-квадрат с степенью свободы.

Точное распределение расстояния можно получить используя тот факт, что распределение вектора является полиномиальным рапсределением.

Построение доверительных множеств и интервалов

Постановка задачи

В ряде случаев необходимо указать множество, которому с заданной вероятностью принадлежит оцениваемый параметр.

Определение.

Пусть - параметрическое семейство. Случайное множество называется доверительным множеством с уровнем доверия , если

Если множество представляет собой интервал на действительной прямой, то оно называется доверительный интервал.

Методы построения доверительных множеств и интервалов

Для построения доверительных множеств используются случайные величины, свободные от распределения

Случайные величины, свободные от распределения

Определение.

Случайная величина называется случайной величиной свободной от распределения, если ее распределение одинаково для всех мер из семейства , т.е.

Если свободна от распределения, то выбрав множество такое, что , получим, что множество

является доверительным множеством.

Таким образом, задача построения доверительных множеств сводится к задаче поиска случайных величин, свободных от распределения.

Примеры

1. Пусть . Тогда случайная величина свободна от распределения и, следовательно, свободна от распределения.

2. Пусть . Тогда случайная величина свободна от распределения и, следовательно, свободна от распределения.

3. Если функция распределения случайной величины непрерывна, то случайная величина свободна от распределения и, следовательно, свободна от распределения

В тех случаях, когда случайной величины, свободной от распределения не существует или ее трудно вычислить, используют случайные величины асимптотически свободные от распределения.