- •Математическая статистика Введение в математическую статистику
- •Предмет математической статистики
- •Возникновение и развитие математической статистики
- •Приложения математической статистики
- •Общая статистическая модель
- •Параметрические и непараметрические задачи
- •Случайные величины и статистики
- •Достаточные статистики
- •Критерий факторизации.
- •Выборка и эмпирическая мера
- •Выбор статистической модели
- •Классическая статистическая модель.
- •Эмпирическая функция распределения
- •Выборочные характеристики
- •Свойства выборочных характеристик
- •Моделирование выборок на компьютере
- •Датчик случайных чисел
- •Моделирование дискретных распределений
- •Моделирование непрерывных распределений
- •Метод максимального правдоподобия
- •Байесовский подход
- •Допустимость байесовских оценок
- •Теорема об апостериорном риске
- •Вычисление байесовских оценок при квадратичной функции потерь
- •Минимаксный подход
- •Минимаксность байесовских решений
- •Проверка статистических гипотез
- •Основные понятия теории проверки статистических гипотез
- •Проверка двух простых гипотез
- •Байесовский подход
- •Наиболее мощный критерий. Лемма Неймана- Пирсона
- •Проверка непараметрических гипотез. Критерии согласия
- •Критерий знаков
- •Состоятельность критерия
- •Критерий Колмогорова
- •Критерий хи-квадрат
- •Асимптотические доверительные интервалы
- •Доверительные интервалы для параметров нормального распределения
Возникновение и развитие математической статистики
Первые исследования в области математической статистики встречаются у Д.Бернулли и Эйлера в связи с исследованием оценок, построенных по статистическим данным. Ряд основных понятий математической статистики был введен Лапласом, Лежандром и Гауссом. В конце 19 – начале 20 века большой вклад в развитие математической статистики внесли Гальтон, Пирсон, затем Фишер, Нейман, Крамер. Формальное описание математической статистики в терминах теории статистических решений дал Вальд. Среди российских ученых наибольший вклад в развитие математической статистики внесли Марков, Романовский, Колмогоров, Смирнов, Слуцкий, Большев.
Приложения математической статистики
Априорные сведения, – т. е. доопытные, имеющиеся до проведения опыта, до получения исследуемых статистических данных и, следовательно, не основанные на них, сведения. Часто априорные сведения также извлечены из ( предшест-вующих) статистических данных. |
Возможность и степень глубины применения методов математической статистики обусловлена, во многом, априорными сведениями (предположениями) о природе статистических данных. Наиболее полно методы математической статистики применяются в том случае, когда априорные сведения свидетельствуют о наличии статистической закономерности в данных, т.е. можно считать, что статистические данные получены соответствии с некоторой вероятностной моделью. Практически важными примерами таких ситуаций являются статистические задачи в теории азартных игр и лотерей, задачи обработки результатов научных и технических измерений, задачи контроля качества продукции, задачи оценки надежности технических систем и программного обеспечения, статистические задачи теории связи и телекоммуникаций, статистический анализ транспортных потоков, некоторые задачи криптографии и теории защиты информации, некоторые демографические, социологические и экономические задачи, исследование факторов риска в медицине и экологии, статистические задачи в теории страхования. В этом случае теория позволяет предложить обоснованные, и часто, оптимальные в некотором смысле, методы обработки статистических данных, оценить точность и достоверность полученных выводов, прогнозов и решений. |
Много практических задач нельзя считать полностью соответствующими вероятностным моделям. Это в частности, задачи прогнозирования экономических показателей (котировок акций, курсов валют, индексов и т.п.). Предположение о наличии статистической закономерности в данных для таких задач не является очевидным или не может быть обосновано теоретически. Применение методов математической статистики для обработки таких данных возможно, но формальное использование утверждений, полученных в строгих предположениях конкретных вероятностных моделей, для оценки точности и достоверности полученных выводов, недопустимо. В этих случаях степень доверия к выводам должна определяться исходя из других соображений.