3. Элементы логики высказываний.

Основным разделом математической логики является логика высказываний.

Высказыванием называют повествовательное предложение, которое имеет определенное значение истинности: истина или ложь. Истинному высказыванию ставится в соответствии 1, ложному – 0. Высказывания обозначаются буквами латинского алфавита.

Примеры простых высказываний:

1. А= «Число 100 больше числа 10»

2. В= «Сегодня я в школу не пойду»

Задания.

1) Объясните, почему следующие предложения не являются высказываниями:

1. Какого цвета этот дом?

2. Число Х не превосходит единицы.

3. 4Х+3

4. Посмотрите в окно.

5. Пейте томатный сок!

6. Эта тема скучна.

7. Валерий Леонтьев – популярный певец.

2) Приведите примеры простых высказываний, определите их истинность или ложность.

Используя простые высказывания, можно образовать сложные, или составные, высказывания, в которые простые входят в качестве элементарных составляющих. Примеры сложных высказываний:

1. А= «Число 100 больше 10, но меньше 1000»

2. В= «Если завтра будет дождь, то в поход мы не пойдем»

Какие простые высказывания входят в сложные А и В?

В образовании сложных высказываний используются слова: и, или, тогда и только тогда, когда (в том и только в том случае), если..., то..., нет. Их называют логическими связками или логическими операциями.

Основная задача логики высказываний заключается в том, чтобы на основании истинности или ложности простых высказываний определить истинность или ложность сложных высказываний.

4. Логические операции

1. Инверсия (операция отрицания или логическое отрицание, НЕ). Обозначается ,  .

Если А - истинное высказывание, то А – ложное высказывание, и наоборот.

Операция отрицания выражается словосочетанием «неверно, что» и определяется следующей таблицей истинности: А	_ А
0	1
1	0

2. Конъюнкция (логическое умножение, соответствует союзу И). Обозначается ,  ,  , математическим знаком умножения или опуская его.

Например: С = «Солнце светит и нет дождя».

Обозначим А = «Солнце светит», В= «нет дождя».

Тогда высказывание С можно записать: А  В (или АВ, АВ, АВ).

Т

Таким образом, сложное высказывание А  В истинно в том и только том случае, когда оба высказывания, А и В, являются истинными.

аблица истинности:

А	В	А&В (АВ)
0	0	0
1	0	0
0	1	0
1	1	1

3. Дизъюнкция (логическое сложение, ИЛИ), имеет два различных значения. Следует различать исключающее «или» и неисключающее «или».

В русском языке союз «или» используется в двояком смысле.

Например, в предложении «Обычно в 8 вечера я смотрю теле­визор или пью чай» союз «или» взят в неисключающем (объедини­тельном) смысле, так как вы можете только смотреть телевизор или только пить чай, но вы можете также пить чай и смотреть телевизор одновременно, потому что мама у вас нестрогая. Такая операция называется нестрогой дизъюнкцией или просто дизъюнкцией. (Если бы мама была строгая, то она разрешила бы или только смотреть телевизор, или только пить чай, но не совмещать прием пищи с просмотром телепередач.)

В высказывании «Данный глагол I или II спряжения» союз «или» используется в исключающем (разделительном) смысле. Такая операция называется строгой дизъюнкцией.

Примеры строгих и нестрогих дизъюнкций:

Высказывание	Вид дизъюнкции
Петя сидит на западной или восточной трибуне стадиона	Строгая
Студент едет в электричке или читает книгу	Нестрогая
Ты выйдешь замуж или за Петю, или за Сашу	Строгая
Завтра дождь будет или не будет (третьего не дано)	Строгая
Давайте бороться за чистоту. Чистота достигается так: или не сорить, или часто убирать	Нестрогая

а) Операция дизъюнкция (логическое сложение, нестрогая дизъюнкция), соответствует неисключающему ИЛИ, обозначается  , +.

А	В	АВ (А+В)
0	0	0
1	0	1
0	1	1
1	1	1

Таким образом, простая дизъюнкция АВ (А + В) ложна тогда и только тогда, когда ложны оба высказывания А и В.

б) Для высказывания, соответствующего исключающему ИЛИ (строгая дизъюнкция), используется словосочетание или…, или (либо…, либо). Строгая дизъюнкция обозначается АВ.

А	В	АВ
0	0	0
1	0	1
0	1	1
1	1	0

Строгая дизъюнкция истинна только тогда, когда одно высказывание истинно, а другое ложно.

4. Импликация. Выражается словосочетанием «если … то». Импликация А  В истинна всегда, за исключением случая, когда А истинно, а В ложно. Таблица истинности импликации имеет следующий вид:

Первые две строки таблицы говорят о том, что из ложного высказывания можно получить как истинное, так и ложное высказывание. Для запоминания: 1  0 = 0 А	В	АВ
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

(Из опыта: Операция импликации (логического следования) является наиболее сложной для учащихся, так как она самая «формально опреде­ленная» и не подкрепляется «здравым смыслом». В процессе ее изучения имеет смысл поговорить о формальном исполнителе и его отличии от неформального.)

Примеры импликаций:

1) Если клятва дана, то она должна выполняться.

2) Если число делится на 9, то оно делится на 3.

В логике допустимо рассматривать и бессмысленные с житейской точки зрения высказывания.

Приведем примеры суждений, которые не только правомерно рассматривать в логике, но и которые к тому же имеют значение «истина»;

1) Если коровы летают, то 2 + 2 = 5.

2) Если я — Наполеон, то у кошки четыре ноги.

Объяснить операцию импликацию можно, например, следующим образом.

Пусть даны высказывания:

А = На улице дождь. В = Асфальт мокрый.

АВ = «Если на улице дождь, то асфальт мокрый.»

Тогда, если идет дождь (А = 1) и асфальт мокрый (В = 1), то это правильно. Но если вам скажут, что на улице идет дождь (А = 1), а асфальт остается сухим (В = 0), то вы посчитаете это ложью. А вот когда дождя на улице нет (А = 0), то асфальт может быть и сухим, и мокрым (например, только что проехала поливальная машина).

Таблица истинности:			Пояснение:
A	B	АВ	Смысл высказываний А и В для указанных значений		Значение высказывания Если на улице дождь, то асфальт мокрый
			А	В
0	0	1	Дождя нет	Асфальт сухой	Истина
0	1	1	Дождя нет	Асфальт мокрый	Истина
1	0	0	Дождь идет	Асфальт сухой	Ложь
1	1	1	Дождь идет	Асфальт мокрый	Истина

5. Операция эквиваленция обозначается знаками , =, . Сложное высказывание АВ (А эквивалентно В) истинно тогда и только тогда, когда и А и В истинны, или когда и А и В – ложны.

А	В	АВ
0	0	1
1	0	0
0	1	0
1	1	1