- •Класифікація сигналів. Методи описання сигналів.
- •Приклади сигналів та їхні характеристики.
- •Енергія та потужність сигналу.(№ 5,6 –энергетические хар-ки)
- •Сигнали з кінцевою енергією та їхні енергетичні характеристики.
- •Сигнали з нескінченною енергією та їхні енергетичні характеристики.
- •Зв’язок між коефіцієнтами різних представлень ряду Фур’є.
- •11, Спектр періодичного сигналу. Визначення, приклад.
- •13. Спектр неперіодичного сигналу на нескінченному інтервалі зміни аргументу.
- •Перетворення Фур’є. Визначення. Загальні відомості.
- •Основні властивості перетворення Фур’є (16)
- •17.Поняття згортки неперервних функцій та його особливість його Фур’є - перетворення.
- •18.Кореляційний аналіз. Кореляційна функція (визначення, приклад).
- •19.Кореляційний аналіз. Взаємна кореляційна функція (визначення, приклад).
- •20.Фур’є перетворення взаємної кореляційної функції.
- •21.Рівність Парсеваля.
- •31 Визначення аналогового, дискретного та цифрового сигналів.
- •Структурная схема цифровой обработки сигналов
- •33 Дискретні сигнали (основні поняття – дискретизація, квантування за рівнем)
- •36.Формула відновлення аналогового сигналу за його дискретними відліками.
- •41.Основні властивості перетворення z-перетворення.
- •43 Імпульсна характеристика дискретної системи та її застосування.
- •47Частотна характеристика дискретної системи.
-
Сигнали з кінцевою енергією та їхні енергетичні характеристики.
Энергия сигналов может быть конечной или бесконечной. Конечную энергию имеют финитные сигналы и сигналы, затухающие по своим значениям в пределах конечной длительности, которые не содержат дельта-функций и особых точек (разрывов второго рода и ветвей, уходящих в бесконечность). В противном случае их энергия равна бесконечности. Бесконечна также энергия периодических сигналов.
Для множества сигналов с ограниченной энергией должно выполняться условие:
L2 = {s; |s(t)|2 dt < ∞}.
О сигналах s(t) данного множества принято говорить, что они интегрируемы с квадратом. Очевидно, что этому множеству могут соответствовать только сигналы, стремящиеся к нулю на бесконечности: s(t) → 0.
Как правило, к этому типу сигналов относятся апериодические и импульсные сигналы, не имеющие разрывов 2-го рода при ограниченном количестве разрывов 1-го рода. Любые периодические, полигармонические и почти периодические сигналы, а также сигналы с разрывами и особыми точками 2-го рода, уходящими в бесконечность, относятся к сигналам с бесконечной энергией. Для их анализа применяются специальные методы.
-
Сигнали з нескінченною енергією та їхні енергетичні характеристики.
Для бесконечных по энергии сигналов, в том числе для периодических, ограничение по энергии может задаваться для определенного интервала (периода) T = t1-t2:
L2(T) = {s;|s(t)|2 dt < ∞}.
Иногда в отдельный класс выделяют сигналы конечной длительности, отличные от нуля только на ограниченном интервале аргументов (независимых переменных). Такие сигналы называют финитными.
-
Ряд Фур’є та його форми представлення. (№ 8+9)
Разложению в ряд Фурье могут подвергаться периодические сигналы. При этом они представляются в виде суммы гармонических функций либо комплексных экспонент с частотами, образующими арифметическую прогрессию. Для того чтобы такое разложение существовало, фрагмент сигнала длительностью в один период должен удовлетворять условиям Дирихле:
□ не должно быть разрывов второго рода (с уходящими в бесконечность ветвями функции);
□ число разрывов первого рода (скачков) должно быть конечным;
□ число экстремумов должно быть конечным (в качестве примера функции, которая на конечном интервале имеет бесконечное число экстремумов, можно привести sin(1/x) в окрестности нуля).
В зависимости от конкретной формы базисных функций различают несколько форм записи ряда Фурье.
ЗАМЕЧАНИЕ -
Ряд Фурье может быть применен для представления не только периодических сигналов, но и сигналов конечной длительности. При этом оговаривается временной интервал, для которого строится ряд Фурье, а в остальные моменты времени сигнал считается равным нулю. Для расчета коэффициентов ряда такой подход фактически означает периодическое продолжение сигнала за границами рассматриваемого интервала.
Синусно-косинусная форма
В этом варианте ряд Фурье имеет следующий вид:
Здесь = 2pi/Т — круговая частота, соответствующая периоду повторения сигнала, равному Т. Входящие в формулу кратные ей частоты кназываются гармониками; гармоники нумеруются в соответствии с индексом к; частота = к называется к-й гармоникой сигнала. Коэффициенты ряда ак и вк рассчитываются по формулам:
Константа а0 рассчитывается по общей формуле для аk. Ради этой общности и введена несколько странная на первый взгляд форма записи постоянного слагаемого (с делением на два). Само же это слагаемое представляет собой среднее значение сигнала на периоде:
Если s(t) является четной функцией, то все bк будут равны нулю и в формуле ряда Фурье будут присутствовать только косинусные слагаемые. Если s(t) является нечетной функцией, равны нулю будут, наоборот, косинусные коэффициенты аk и в формуле останутся лишь синусные слагаемые.
Вещественная форма
некоторое неудобство синусно-косинусной формы ряда Фурье состоит в том, что для каждого значения индекса суммирования k (то есть для каждой гармоники с частотой кw1) в формуле фигурируют два слагаемых — синус и косинус. Воспользовавшись формулами тригонометрических преобразований, сумму этих двух слагаемых можно трансформировать в косинус той же частоты с иной амплитудой и некоторой начальной фазой:
Если s(t) является четной функцией, фазы могут принимать только значения 0 и pi, а если s(t) — функция нечетная, то возможные значения для фазы равны ±pi/2.
Комплексная форма
Данная форма представления ряда Фурье является, пожалуй, наиболее употребимой в радиотехнике. Она получается из вещественной формы представлением косинуса в виде полусуммы комплексных экспонент (такое представление вытекает из формулы Эйлера еjx = cos x+j sin x):
Применив данное преобразование к вещественной форме ряда Фурье, получим суммы комплексных экспонент с положительными и отрицательными показателями:
А теперь будем трактовать экспоненты со знаком «минус» в показателе как члены ряда с отрицательными номерами. В рамках этого же общего подхода постоянное слагаемое а0/2 станет членом ряда с нулевым номером. В результате получится комплексная форма записи ряда Фурье:
Комплексные коэффициенты ряда связаны с амплитудами Ак и фазами , фигурирующими в вещественной форме записи ряда Фурье.(1.7), следующими несложными соотношениями:
Несложно выглядят и формулы связи с коэффициентами ак и Ьк синусно-косинусной формы ряда Фурье (1.6):
Отсюда сразу же следует и формула непосредственного расчета коэффициентов Ск ряда Фурье в комплексной форме:
Если s(t) является четной функцией, коэффициенты ряда Сk будут чисто вещественными, а если — функция нечетная, коэффициенты ряда окажутся чисто мнимыми.
Совокупность амплитуд гармоник ряда Фурье часто называют амплитудным спектром, а совокупность их фаз — фазовым спектром. Эти понятия не следует путать с амплитудно- и фазочастотными характеристиками, которые относятся не к сигналам, а к цепям. Если анализируемый сигнал s(t) является вещественным, то его амплитудный и фазовый спектры обладают симметрией: