4.2 Множественный нелинейный регрессионный анализ.

Первый этап нелинейного множественного регрессионного анализа — получение квадратичной формы Для этого определяют коэффициенты регрессии в полиноме:

(4.8)

Степень уравнения можно повышать (в разумных пределах) да тех пор пока уменьшается остаточная дисперсия и увеличивается критерий Фишера .

Другой формой проведения нелинейного регрессионного анализа является использование так называемых “внутренне линейных” форм уравнений, то есть форм, которые легко линеаризуются логарифмированием или другим преобразованием. Прежде всего это мультипликативная форма:

. (4.9)

Линеаризация мультипликативной формы осуществляется по выражению:

. (4.10)

Экспоненциальные формы:

; (4.11)

. (4.12)

Линеаризация экспоненциальной формы осуществляется по выражениям:

; (4.13)

. (4.14)

Для опытных данных было отобрано 3 функции:

Рис 5. Пример поверхности регрессии.

Уравнение линии регрессии:

.

Коэффициент корреляции:

.

; ; .

Рис 6. Пример поверхности регрессии.

Уравнение линии регрессии:

.

Коэффициент корреляции:

.

; ; .

Рис 7. Пример поверхности регрессии.

Уравнение линии регрессии:

.

Коэффициент корреляции:

.

; ; .

Полученные уравнения регрессии адекватно описывают опытные данные. Это подтверждается высокими значениями коэффициента множественной корреляции.

4. Полный факторный эксперимент и обработка его результатов

В табл. 6 представлены исходные данные.

Таблица 6

Исходные данные

22	20	21
10	10	9
30	29	29
13	12	12

В этом разделе производится оценка влияния концентраций двух химических реагентов CaCl₂ и КССБ (концентрированная сульфит спиртовая барда) на величину предельного напряжения сдвига бурового раствора.

Концентрация изменилась в диапазоне от 0 до 2 %, KSSB от 1 до 3 %

Было проведено 4 эксперимента по 3 параллельных опыта в каждом, то есть

Таблица 7

1	22	20	21
2	10	10	9
3	30	29	29
4	13	12	12

- численное значение (опытные данные)

Обозначим концентрацию как , а KSSB как

Общий уровень:

(5.1)

Интервал варьирования:

(5.2)

В планировании эксперимента используется метод кодирования.

Наибольшее значение уровня варьирования обозначим за

Наименьшее значение уровня варьирования обозначим за

Стандартная матрица планирования с учетом взаимодействия факторов:

Таблица 8

N
1	-1	-1	+1	21	1,21
2	-1	+1	-1	9,67	0,52
3	+1	-1	-1	29,33	0,56
4	+1	+1	+1	12,33	1

кодированное значение

среднее значение

_- дисперсия в экспериментах

Теперь строим модель (уравнение регрессии):

Предположим, что модель прямолинейная т.е.: при изменении концентрации изменяется прямо пропорционально:

На первом этапе находим найти коэффициенты , , , :

; (5.3)

;

; (5.4)

При расчетах средние значения складываются, а знаки берутся из соответствующего столбца табл.8:

;

;

;

- линейное уравнение регрессии.

Оценка качества эксперимента и уравнения в целом:

Оценивается значимость коэффициентов, тем самым определяется степень влияния факторов:

(5.5)

,

,

,

Оценивается однородность дисперсии, т.е. устанавливается, что влияние оказывают только реагенты:

(5.6)

- табличное значение критерия Кохрена. Зависит от и . Уровень значимости , ; - число степеней свободы.

=1;

Это условие выполняется, значит кроме химреагентов никакие посторонние факторы не влияют – дисперсии однородны.

Определяется дисперсия воспроизводимости (средняя дисперсия) :

; (5.7)

0,33

; (5.8)

0,03

дисперсия коэффициента уравнения.

Значение критерия Стьюдента (для каждого коэффициента):

(5.9)

Табличные значения =2,31 определяются при и

- коэффициент значим.

- коэффициент значим.

- коэффициент значим.

- коэффициент значим.

Таким образом ни одно слагаемое из уравнения не отбрасывается.

- окончательная модель уравнения регрессии.

- расчетное по уравнению регрессии значение функции отклика .

Рассчитывается при раскодированных и, т.е. при переходе к натуральным единицам измерения - .

Подставляем в уточненную модель уравнения регрессии:

Значение функции отклика для каждого эксперимента:

Теперь оценим адекватность модели по критерию Фишера :

Зависит от , и : ; где k=2 (два реагента, два фактора).

;

, (5.10)

где остаточная дисперсия. Она показывает насколько велик разброс расчетных значений от опыта:

; (5.11)

неверно

Было составлено уравнение регрессии. Доказано, что на результаты экспериментов влияние оказывают только химические реагенты, но уравнение неадекватно, следовательно, надо переходить к моделям более высоких порядков.

Заключение

Было получено представ­ление о принципах и особенностях математического моделирования в разведочном бурении. Курсовая работа позволила овладеть основными методами математической, преимущественно статистической, обработки информации и научиться применять их для решения различных задач в бурении.