Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Федеральное государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Ю.А. Игнатова, А.Л. Цветянский, М.А. Сорочинская,

Т.Ю. Привалова.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к курсу «Физика» (механика) для студентов

физического факультета и факультета высоких технологий

Часть 3

Ростов-на-Дону

2010

Методические указания разработаны старшим преподавателем кафедры общей физики Ю.А. Игнатовой, к. физ.-мат. н., проф. кафедры общей физики А.Л. Цветянским, старшим преподавателем кафедры общей физики М.А. Сорочинской, доц. кафедры общей физики Т.Ю. Приваловой.

Печатается в соответствии с решением кафедры общей физики физического факультета ЮФУ, протокол № от 2010г.

Методические указания предназначены для аудиторной и самостоятельной работы студентов 1 курса физического факультета и факультета высоких технологий. В сборнике приведены диагностико-квалиметрические материалы (задачи для самостоятельного решения). Методические указания снабжены краткой теорией, примерами решения задач, приложениями, содержащими значения фундаментальных физических постоянных, производные и первообразные некоторых функций, формулы векторной алгебры и тригонометрии.

Динамика твердого тела краткая теория

МОМЕНТ ИНЕРЦИИ

Определение момента инерции

Момент инерции тела относительно неподвижной оси - физическая величина, равная сумме произведений элементарных масс на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси и являющаяся мерой инертности тела во вращательном движении

. (1)

Суммирование производится по всем элементарным массам _, на которые можно разбить тело.

Рисунок 1 – Разбиение тела на элементарные массы

Момент инерции — величина аддитивная: момент инерции тела равен сумме моментов инерции его частей.

Момент инерции тела в случае непрерывного распределения масс

_, (2)

где ρ - плотность тела в данной точке; dm=ρdV - масса малого элемента тела объемом dV, отстоящего относительно оси вращения на расстоянии r.

Интегралы берутся по всему объему тела, причем величины ρ и r являются функциями точки (например, декартовых координат х_, у и z).

Момент инерции сплошного цилиндра

Разобьем цилиндр на отдельные полые концентрические цилиндры бесконечно малой толщины dr с внутренним радиусом r и внешним r + dr. Момент инерции каждого полого цилиндра , (), объем элементарного цилиндра 2πrh dr, его масса dm = 2πrhρ dr и dI=2πhρr³ dr (ρ - плотность материала). Момент инерции сплошного цилиндра .

Рисунок 2 – К расчету момента инерции сплошного цилиндра

Поскольку - объем цилиндра, его масса , а

. (3)

Теорема Штейнера

Момент инерции тела I относительно любой оси вращения равен моменту его инерции I_c относительно параллельной оси, проходящей через центр масс тела, сложенному с произведением массы m тела на квадрат расстояния а между осями.

. (4)

Таблица 1 Моменты инерции однородных тел

Тело	Положение оси вращения	Момент инерции
Полый тонкостенный цилиндр радиуса R	Ось симметрии
Сплошной цилиндр или диск радиуса R	Ось симметрии
Прямой тонкий стержень длиной l	^Ось перпендикулярна стержню и ^проходит через его середину
Шар радиуса R	Ось проходит через центр шара
Прямоугольная тонкая пластинка со сторонами а и b	Ось проходит через центр пластины перпендикулярно ее плоскости